Aufgabe:
Gegeben ist folgende Matrix: A = \( \begin{pmatrix} 2e & 5 & 2π \\ -9 & 3e & π \\ \end{pmatrix} \) ("e" ist Eulersche Zahl)
i.) Bestimmen Sie die Dimension des Kerns und des Bildes der Matrix A.
Problem/Ansatz:
1.) Ich hab bereits versucht die Dimension des Bildes zu bestimmen, indem ich wie folgt argumentiert habe:
dim(Bild(A)) = rang(A) (Rang einer Matrix entspricht der Dimension ihres Bildes)
Demnach müsst ja gelten: dim(Bild(A)) = rang \( \begin{pmatrix} 2e & 5 & 2π \\ -9 & 3e & π \\ \end{pmatrix} \)
Nun habe ich das Gauß-Verfahren angewendet, um auf eine Nullzeile zu prüfen und kam auf dieses Ergebnis:
\begin{pmatrix} 2e & 5 & 2π \\ -9 & 3e & π \\ \end{pmatrix} −− Gauß →
\begin{pmatrix} 2e & 5 & 2π \\ 0 & \frac{2e^2+15}{3} & \frac{18π+2πe}{9} \\ \end{pmatrix}
Da keine Nullzeile entsteht müsste ja nun gelten: dim(Bild(A)) = rang(A) = 2
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2.) Bei der Dimension des Kerns bin ich mir allerdings nicht sicher, wie ich vorgehen soll.
Ich kenne den Dimensionsatz: dim(Bild(A)) + dim(Kern(A)) = n für eine Matrix A m x n
Wäre es ausreichend, diesen wie folgt umzuformen und zu argumentieren:
dim(Kern(A)) = n - dim(Bild(A))
n = 3 da wir ja eine 2 x 3-Matrix haben und dim(Bild(A)) = 2 (siehe oben berechnet).
-> dim(Kern(A)) = 3 - 2 = 1
-> Die Dimension des Kerns wäre also 1.
Ist mein Ansatz soweit korrekt? Würde mich über jede Hilfe freuen.
