Injektiv, Bijektiv, Surjektiv

Question

Sei f : Z→Z mit f(x) = 2x + 4.

Ist f injektiv, surjektiv, bijektiv?

Definitionen:

Eine Funktion f : A → B ist injektiv, wenn für alle r,s ∈ A gilt: f(r) = f(s) ⇒ r = s.

Eine Funktion f : A → B ist surjektiv, wenn es zu jedem t ∈ B (mindestens) ein s ∈ A gibt, so dass f(s) = t.

Eine Funktion f : A → B ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

Meine Überlegung:

y=2x+4 <=> y-4=2x <=> y-4/2=x

und somit ist die Funktion surjektiv, da es zu jedem x ∈ B ein y ∈ A gibt.

Ist meine Überlegung richtig ?

Comments

y= 2x+4 ist eine Gerade.

Jedem x wird genau ein y zugeordnet. → f(x) ist bijektiv, also injektiv und surjektiv.

Answer 1

Aloha :)

$$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}: x\mapsto 2x+4$$

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Wir nehmen an, es gebe 2 Werte \(a,b\) aus der Quellmenge \(\mathbb{Z}\), die dasselbe Bild haben. Für diese gilt dann:$$f(a)=f(b)\;\;\Rightarrow\;\;2a+4=2b+4\;\;\Rightarrow\;\;a=b$$Wenn \(f(a)=f(b)\) ist, muss auch \(a=b\) sein. Mit anderen Worten, es gbit keine 2 verschiedenen Elemente aus der Qullmenge, die dasselbe Bild haben. Jedes Element der Zielmenge wird daher höchstens 1-mal erreicht. Die Funktion ist injektiv.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Wir nehmen also ein beliebiges \(y\) aus der Zielmenge \(\mathbb{Z}\) und prüfen, ob wir ein passendes \(x\) aus der Quellmenge \(\mathbb{Z}\) finden, das auf \(y\) abbildet.$$y=2x+4\;\;\Leftrightarrow\;\;x=\frac{y-4}{2}$$Oha, für \(y=1\) wäre \(x=-1,5\not\in\mathbb{Z}\). Das Element \(1\) aus der Zielmenge kann also niemals erreicht werden. Die Funktion ist nicht surjektiv.

Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge genau 1-mal erreicht wird. Die Funktion muss dann also injektiv und surjektiv zugleich sein. Diese Funktion hier ist nicht surjektiv und daher auch nicht bijektiv.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung :)