Grenzwert einer Reihe - Indexverschiebung?

Question

Aufgabe:

\( \frac{1}{2} \) · ( \( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}} \) - \( \sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k + 2}} \) )

Problem/Ansatz:

Ich bin bei einer Aufgabe, bei der es den Grenzwert einer Reihe zu bestimmen gilt, bis zu diesem Schritt gekommen.

In der Lösung wird nun folgendermaßen weiter verfahren:

\( \frac{1}{2} \) · [ 1+ \( \frac{1}{2} \) + \( \sum\limits_{k=3}^{n}{\frac{1}{k}} \) - ( \( \sum\limits_{k=3}^{n}{\frac{1}{k}} \) + \( \frac{1}{n + 1} \) + \( \frac{1}{n + 2} \) ) ]

Den ersten Teil verstehe ich noch, da werden ja nur die Werte für k = 1 und 2 heraus gezogen. Aber beim zweiten Teil verstehe ich das nicht mehr so ganz. Ist das da eine Indexverschiebung?

Answer 1

Aloha :)

Bei der zweiten Summe wurde eine Indexverschiebung durchgeführt:

$$\frac{1}{2}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}-\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k + 2}} \right)=\frac{1}{2}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}-\sum\limits_{k=1+2}^{n+2}{\frac{1}{(k-2)+2}}\right)=\frac{1}{2}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}-\sum\limits_{k=3}^{n+2}{\frac{1}{k}}\right)$$Jetzt kannst du von der ersten Summe die beiden ersten Summanden abtrennen und von der zweiten Summe die beiden letzten Summanden:$$=\frac{1}{2}\left[\left(\sum\limits_{k=3}^n\frac{1}{k}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}\right)-\left(\sum\limits_{k=3}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$$Das kannst du nun noch nach Belieben weiter vereinfachen ;)