wie geht man vor, um die Taylor'sche Formel erster Ordnung für eine stetig differenzierbare Abbildung \(f: D\to \mathbb{R}\) auf einer nichtleeren offenen Menge \(D\subset \mathbb{R}^N\) herzuleiten?
Man untersucht das Änderungsverhalten von \(f\) längs der in \(D\) liegenden Strecken \(S_{a,a+h}:=\{a+th : t\in [0,1]\}\). Dafür betrachtet man die Funktion \(g: [0,1]\to \mathbb{R}\) mit \(g(t)=f(a+th)\). Die Taylorentwicklung für \(g(1)\) im Entwicklungspunkt \(0\) ergibt eine Darstellung von \(f(a+h)\). Wegen der Offenheit von \(D\), gibt es ein \(\delta >0\) mit \(U_\delta (a)\subset D\) und \(S_{a,a+h}\subset D\) für \(||h||<\delta\).
Die Taylorentwicklung von \(g\) ergibt \(g(1)=g(0)+g'(\tau)\) mit \(\tau \in [0,1]\).
Wenn man dann die Kettenregel anwendet erhält man daraus den Mittelwertsatz. Da \(f\) stetig differenzierbnar ist und dann mit \(a\in D\) auch die Verbindungsstrecke \(S_{a,a+h}\) in \(D\) liegt, dann gibt es ein \(\tau \in [0,1]\) mit \(f(a+h)=f(a)+\text{grad} f(a+\tau h)\cdot h\). Das ist die Taylorsche Formel erster Ordnung.
Problem: Ich verstehe nicht, wie man auf den hervorgehobenen Teil kommt. Wieso sieht die Taylorentwicklung von \(g\) so aus?
