Optimierungsverfahren nach Lagrange: Normalenvektor durch Ursprung

Question

Aufgabe:

Es gilt den minimalsten Abstand einer Ebene zum Koordinatenursprung zu bestimmen. Dabei soll gemäß des Optimierungsverfahrens nach Lagrange vorgegangen werden und das Ergebnis anhand der Hesse'schen Normalform der Ebene validiert werden.

Problem/Ansatz:

Die Ebenengleichung lautet (3/4)x + (2/5)y + (2/3)z = 2

Eine erste Überlegung lieferte die Idee, dass es sich um einen Normalenvektor der Ebene handeln muss, welcher durch den Punkt \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) zu gehen hat. Leider führt nur ein elementarer Ansatz über eine Ursprungsgerade zu plausiblen Ergebnissen.

Ich bitte um Unterstützung die Ebenengleichung mit dem Koordinatenursprung im Sinne von Lagrange zu verheiraten und zu überprüfen. Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

Du kannst Dir einiges an Schreib- und Rechenarbeit sparen, wenn Du es vektoriell hinschreibst. Die Ebene ist $$E: \space \vec{n}\vec{x} = d \quad \text{mit:} \space \vec{n} = \begin{pmatrix} 3/4\\ 2/5 \\ 2/3 \end{pmatrix}, \space d = 2$$und nun die Lagrange-Gleichung für den Abstand vom Ursprung aufstellen und ableiten $$L(\vec{x}, \lambda) = \vec{x}^2 + \lambda(\vec{n} \vec{x} - d) \\ \frac{\partial L}{\partial \vec{x}} = 2 \vec{x} + \lambda \vec{n} = 0\\ $$multipliziere die entstanden Gleichung mit \(\vec{n}\) und setzte das \(d\) aus der Ebene ein$$2 \vec{n} \vec{x} + \lambda \vec{n}^2 = 0 \\ 2d + \lambda \vec{n}^2 = 0 \\ \implies \lambda = - \frac{2d}{\vec n^2} = - \frac 4{\frac {4201}{3600}} = - \frac{14400}{4201}$$Einsetzen in die Ableitung von \(L\) liefert Dir dann das \(\vec{x}\) $$\vec{x} = -\frac12 \lambda \vec n =  \frac d{\vec n^2} \vec n= \frac{7200}{4201}\begin{pmatrix} 3/4\\ 2/5 \\ 2/3 \end{pmatrix}$$

Answer 2

Versuchs mal so

$$  L(x,y,z,\lambda) = x^2 + y^2 +z^2 +\lambda\left( \frac{3}{4}x + \frac{2}{5}y+\frac{2}{3}z - 2 \right)  $$

Jetzt das mormale Verfahren anwenden. Ergebnis

$$  d = 1.851  $$