Asymptote von Funktionen berechnen

Question

Hallo, für die folgenden Funktionen sollen die Asymptote angegeben werden. Für alle Funktionen gilt x ↦ ± ∞

Bei den ersten beiden Funktionen habe ich zumindest eine Idee und ein Ergebnis raus. Bei den Funktionen danach weiß ich gar nicht weiter. Wie muss ich die da berechnen? Hoffe, es könnte mir jemand helfen? :(

1) f(x) = \( \dfrac{-8x-6}{4x-2} \)      Mein Ergebnis: 1/2 (ich habe den Nenner nach x aufgelöst)

2) f(x) = \( \dfrac{6x^2+5x-5}{4-6x} \)    Mein Ergebnis: 2/3 (auch hier den Nenner nach x aufgelöst)

3) f(x) = \( \dfrac{-3x^3+6x^2-8x+4}{9x^2+x+3} \)

4) f(x) = \( \dfrac{9x^5-3x^4+9x^3+5x^2+8x+5}{5x^2+8x+4} \)

5) f(x) = \( \dfrac{5x^6+5x^5-7x^4+9x^3-7x^2-3x-9}{3x^4+9x^3+5x^2+8x+7} \)

Answer 1

1) f(x) = \( \dfrac{-8x-6}{4x-2} \)      Mein Ergebnis: 1/2 (ich habe den Nenner nach x aufgelöst)

Hiermit hast du die Gleichung x = 1/2 der vertikalen Asymptote bestimmt.

Die horizontale Asymptote dieser Funktion hat die Gleichung y = -2.

~plot~ (-8x-6)/(4x-2);x=1/2;-2 ~plot~

Für alle Funktionen gilt x ↦ ± ∞

D.h. du sollst eigentlich die horizontale Asymptote und nicht die vertikale Asymptote bestimmen.

f(x) = (-8x - 6)/(4x-2)        | kürzen mit x

= (-8 -6/x)/ (4 - 2/x)

nun x-> unendlich gehen lassen.

Grenzwert ist

 lim_{x->±unendlich} f(x) =  (-8 - 0)/(4 - 0) = -2

Also horizontale Asymptote y = -2

Answer 2

Hallo,

Aufgabe 3)

 Lösung durch Polynomdivision möglich:

( - 3x^3  +    6x^2  -      8x  +    4) : (9x^2 + x + 3)  =  -1/3x + 19/27  Rest  -208/27x + 17/9 
  - 3x^3  -  1/3x^2  -      x       
—————————————————————————————————————
            19/3x^2  -      7x  +    4
            19/3x^2  +  19/27x  + 19/9
            ——————————————————————————
                    - 208/27x  + 17/9

----------->

Aymptote:

y=  (-1/3)x + 19/27

Answer 3

minus
Zähler 8*x - 6
Nenner 4x -2

Umformen
Zähler x * (8- 6/x)
Nenner x * (4 -2/x)

kürzen
Zähler 8- 6/x
Nenner 4 -2/x

lim x -> ∞  = minus 8/4 = -2

Außerdem ist die Polstelle eine vertikale Asymptote:
4x - 2 = 0
x = 1/2