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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Punkte (inkl. y-Koordinaten) des Funktionsgraphen, an denen die Tangente waagerecht verläuft.

\( f(x)=\frac{11}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} \cdot \exp \left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right) \)

Dabei sind µ, σ Konstante aus ℝ. (Diese Funktion ist die in der Statistik bedeutsame Gausche Glockenkurve.)

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Du musst die 1. Ableitung bilden und Null setzen.

Da es sich um die Gauß'sche Glockenkurve handelt, müsste der x-Wert bei x=μ liegen.

Der y-Wert ist dann der Faktor links vom exp.

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Aloha :)

Eine waagerechte Tangente hat die Steigung \(0\). Hier sollen also alle Stellen \(x\) gefunden werden, an denen die erste Ableitung der Funktion \(f(x)\) verschwindet. Die Forderung an die \(x\) lautet also: \(f'(x)\stackrel{!}{=}0\). Wir bilden daher zunächst die Ableitung:

$$f'(x)=\left(\frac{11}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right)'=\underbrace{\frac{11}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{\left(-\frac{2(x-\mu)}{2\sigma^2}\right)}_{=\text{innere}}$$$$\phantom{f'(x)}=-\frac{11}{\sigma^2\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\cdot(x-\mu)\stackrel{!}{=}0$$Da die Exponentialfunktion immer \(>0\), kann die erste Ableitung nur verschwinden, wenn \(x_0=\mu\) ist.

Da wir den Punkt benötigen, müssen wir noch die zu \(x_0=\mu\) gehörende \(y\)-Koordinate bestimmen.$$y_0=f(x_0)=f(\mu)=\frac{11}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\underbrace{e^{-\frac{(\mu-\mu)^2}{2\sigma^2}}}_{=e^0=1}=\frac{11}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$$Es gibt also genau einen Punkt, an dem die Tangente an \(f(x)\) waagerecht verläuft:$$P_0\left(\mu\,\left|\,\frac{11}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\right.\right)$$

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Hallo Tschaka,
muß es nicht x = mue
( mue | ... )
heißen.

Oha, ja natürlich!!!

Zum Glück stimmt die Rechnung, habe das nur falsch in den Endpunkt übertragen.

Danke dir für den Hinweis, ich korrigiere es direkt ;)

Ja. Wie von MontyPython vor 4 Stunden schon bemerkt wurde.

Da es sich um die Gauß'sche Glockenkurve handelt, müsste der x-Wert bei x=μ liegen.

Problem ist nur, dass "müsste liegen" keine Rechnung bzw. Bestimmung ist. Deswegen habe ich die Rechnung ausführlich vorgeführt.

MontyPython hat ja auch gesagt dass die erste Ableitung gleich Null zu setzen ist und nicht nur einfach das x = μ ist bzw. sein müsste.

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Rein mathematisch
Gezeigt wird ein Produkt.
Links vom Malzeichen steht eine Konstante
die beim Differenieren so bestehen bleibt.
[ e^(term) ] ´ = e^(term) * ( term ´)

[ - ( x - mue )^2 / ( 2 * rho^2 ) ] ´ = ( x - mue ) / rho^2

Konstante * e^term * ( x - mue ) / rho^2 = 0 =>
( x - mue ) / rho^2 = 0 =>
x - mue = 0
x = mue

Wird ( x = mue ) eingesetzt  bleibt als Funktionswert
der linke Teil vom Malzeichnen

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Problem ist nur, dass "müsste liegen" keine Rechnung bzw. Bestimmung ist.

Dann substituiert man eben mal z=x-µ und stellt fest, dass die entstehende Funktion f(z) achsensymmetrisch ist ...

Den Rest muss ich wohl für euch nicht weiter ausführen. Auf alle Fälle ist eine Bearbeitung der Aufgabe auch ohne die Verwendung von Ableitungen möglich.

Avatar von 53 k 🚀

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