Ungewöhnliche Notation bei Partieller Ableitung?

Question

ich habe folgenden Satz aus einem Vorlesungsskript Johannes Kepler Universität in Linz:

Hat $f: D\to \mathbb{R}$ mit einer offenen Menge $D\subset \mathbb{R}^2$ in einer Umgebung von $(x_0,y_0)\in D$ alle partiellen Ableitungen bis zur $n$-ten Ordnung, so heißt das Polynom:$$T_n(x,y)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left((x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}+(y-y_0)\frac{\partial }{\partial y}\right)^nf(x_0,y_0)$$ das Taylorpolynom $n$-ten Grades (oder der Ordnung $n$) der Funktion $f$ im Entwicklungspunkt $(x_0,y_0)$

Ich habe mal versucht, die Formel auf $f(x,y)=x^2+y^2$ anzuwenden und das Taylorpolynom ersten Grades in $(0,1)$ zu finden.

Was bedeutet aber die Notation $(x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}$? Heißt das, dass ich $\frac{\partial f}{\partial x}=2x$ mit $x=0$ auswerte? Ich komme irgendwie mit verschiedenen Lesarten nicht auf $T_1(y)=2y-1$

Answer 1

Hallo,

k und n sind hier scheinbar falsch eingetragen, die Potenz sollte zur k-ten Potenz sein und die Reihe ist nur endlich bis n-ter Ordnung. Für das Taylorpolynom in erster Ordnung ergäbe sich mit obiger Schreibweise

$$T_1(x,y)=\left((x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}|_{x=x_0}+(y-y_0)\frac{\partial }{\partial y}|_{y=y_0}\right)(x^2+y^2)=\left(x\frac{\partial x^2}{\partial x}|_{x=0}+(y-1)\frac{\partial y^2}{\partial y}|_{y=1}\right)=2(y-1)$$

Auch deine Musterlösung ist falsch.

Comments

Hallo,

die Formel habe ich hier her: https://www.geogebra.org/m/chMpCQz2

Laut WolframAlpha gilt: https://www.wolframalpha.com/input/?i=tangent+plane+x%5E2%2By%5E2+at…

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Zur Musterlösung: ich habe nur den Summanden k=1 berechnet, für k=0 ergibt sich +1 , damit kommt man auf 2y-1. Letzteres bestätigt meine Vermutung: die Potenz muss hoch k sein, wenn da wirklich n stehen würde dann wären ja die Summanden für k=0 und k=1 gleich bis auf den Faktor 1/k!.

Vermutlich ein Schreibfehler im Skript.

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Du meinst es müsse $T_n(x,y)=\sum \limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\left((x-x_0)\frac{\partial}{\partial x}+(y-y_0)\frac{\partial }{\partial y}\right)^kf(x_0,y_0)$ heißen?

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Ja, so dachte ich mir das.

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Ich werde mal ein paar Testläufe machen, danke.

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Was mir bei dir gerade noch aufällt ist, dass du nicht $f(x_0,y_0)$ sondern $f(x,y)=x^2+y^2$ geschrieben hast.

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Die Ableitungen müssen alle an der Stelle (x_0,y_0) ausgewertet werden.

Das soll die Schreibweise

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x_0,y_0)$$ vermutlich implizieren, ich mag die Schreibweise aber nicht, daher habe ich es zu

$$\frac{\partial}{\partial x}|_{x=x_0} f(x,y)$$ geändert.