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Aufgabe:

Was verstehe ich unter der Frage " Erklären sie die Ableitung einer Funktion mit hilfe der Umkehrfunktion"?

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Was Du darunter verstehst, kannst nur Du beantworten.

Ich verstehe unter der Frage, dass man mit Hilfe der Umkehrfunktion die Ableitung einer Funktion erklären soll.

wenn du in der bekannten Formel

\( f^{-1} ‘ (x) = \dfrac{1}{f ‘(f^{-1}(x))}\)

 f und f-1 vertauschst, hast du f '(x) mithilfe von  (f -1) '  dargestellt.

3 Antworten

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https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel

Skizzen im LInk zeigen dir, was da bei der Spiegelung mit dem Steigungsdreieck passiert.

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Du kannst zunächst an dem konkreten Beispiel die Ableitung von y = √x erklären unter der Annahme das man die Ableitung der Umkehrfunktion y = x^2 kennt.

Dann verallgemeinerst du es. Mache auch viele Skizzen dazu die die Regel grafisch erklären.

Der Umfang richtet sich danach ob es im Rahmen einer PL oder nur eine Hausaufgabe ist.

Skizze:

~plot~ x^2;4*(x-2)+4;{2|4};sqrt(x);1/4*(x-4)+2;x;{4|2};[[-1|7|-1|5]] ~plot~

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Aloha :)

Du hast eine Funktion \(f(x)\) und die dazugehörige Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)\). Wirkt auf ein Argument \(x\) zunächst die Umkehrfunktion und auf das Ergebnis dann die Funktion, erhalten wir wieder das Argument. Das gilt für alle zulässigen Argumente \(x\). Mathematisch formal heißt das:$$x\equiv f(\,f^{-1}(x)\,)$$Dabei soll das \(\equiv\)-Zeihen darauf hinweisen, dass diese Beziehung für alle \(x\) gilt, die als Argumente für die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)\) zugelassen sind.

Jetzt können wir beide Seiten ableiten. Links ist das einfach, rechts benutzen wir die Kettenregel:$$1=\underbrace{f'(\,f^{-1}(x)\,)}_{=\text{äußere}}\cdot \underbrace{\left(f^{-1}\right)'(x)}_{=\text{innere}}$$Jetzt dividieren wir beide Seiten durch \(f'\) und haben die fertige Formel:$$\boxed{\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'(\,f^{-1}(x)\,)}}$$Die Formel brauchst du dir eigentlich nicht zu merken, wenn du das Prinzip verstanden hast.

Dazu vielleicht mal ein Beispiel. Wir suchen die Ableitung von \(\arcsin(x)\).

$$x=\sin(\arcsin(x))$$$$1=\cos(\arcsin(x))\cdot\arcsin'(x)$$$$\arcsin'(x)=\frac{1}{\cos(\arcsin(x))}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin(x))}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

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