Zufallsvariablen, Tschebyscheff-Ungleichung

Question

Aufgabe:

Sei (X_n)_n∈ℕ eine Folge unabhängiger N(a, √n)-verteilter Zufallsvariablen und sei
Y_n := $\frac{2}{n^2 +n}$ ∑ⁿ_k=1kX_k.

a) Zeigen Sie, dass E(Y_n) = a für alle n ∈ N.

b) (4+4P) Zeigen Sie, dass Y_n    P→    a und zwar
(i) mithilfe der Tschebyscheff-Ungleichung (Satz 20.1),
(ii) mithilfe von Lemma 20.1.

Satz 20.1:

Sei X : Ω → ℝ eine Zufallsvariable, deren zweites Moment E(X²) existiert. Dann gilt für jedes ε > 0, dass

P(|X-E(X)| ≥ε) ≤ $\frac{ Var(X) }{ ε^2}$.

Lemma 20.1:

Seien (X_n)_n∈ℕ eine Folge von Zufallsvariablen mit E(X²_n) < ∞ für alle n∈ℕ und a∈ℝ eine Konstante. Fall gilt, dass E(X_n)       n→∞→      a   und Var(X_n)      n→∞→ 0, gilt X_n       P→        a. (n→∞ und P stehen hierbei auf den darauffolgenden Pfeilen).

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zufallsvariablen, Tschebyscheff-Ungleichung, Grenzwertsatz

Stichworte: zufallsvariable,wahrscheinlichkeit,stochastik

Aufgabe:

Sei (Xn)n∈N eine Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit PXn = Pois ($\frac{1}{n}$). Zeigen
Sie mithilfe der Tschebyscheff-Ungleichung, dass für alle ε > 0
lim_n→∞ P(| 1/(n^3/2) ∑ⁿ_k=1 kX_k - 1/(n^1/2)| ≥ε) = 0
b) (5P) Zeigen Sie mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes, dass
limn→∞ e⁻ⁿ∑ⁿ_k=0 $\frac{n^k}{k!}$ = $\frac{1}{2}$

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Ist $\sqrt{n}$ die Streuung oder die Varianz von $X_n$ ?

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Sollte die Streuung sein.

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Siehe meine Ableitung unten, dann kann man die Aussagen nicht beweisen.

Answer 1

Hi,

ich geh mal davon aus das $\sigma^2 = \sqrt{n}$ gilt.

Der Erwartungswert berechnet sich wie folgt.

$$\mathbb{E}\left( Y_n \right) = \frac{2}{n^2+n} \sum_{k=1}^n k \ \mathbb{E}\left(X_n\right) = \frac{2}{n^2+n} \sum_{k=1}^n k a = a$$

Für die Varianz gilt wegen $a = \frac{2}{n^2+n} \sum_{k=1}^n k a$

$$\mathbb{V} \left( Y_n \right) = \mathbb{E} \left( Y_n -a \right)^2 = \mathbb{E} \left( \frac{2}{n^2+n} \sum_{k=1}^n k X_n - a \right)^2 = \mathbb{E} \left( \frac{2}{n^2+n} \sum_{k=1}^n k \left( X_n - a \right) \right)^2$$  

Jetzt gilt wegen der Unabhängigkeit der ZV $X_n$ und wegen $\mathbb{E} \left( X_n -a \right) = 0$

$$\mathbb{V} \left( Y_n \right) = \mathbb{E} \left( \frac{2}{n^2+n} \sum_{k=1}^n k \left( X_n - a \right) \right)^2 = \left( \frac{2}{n^2+n} \right)^2 \mathbb{E} \left( \sum_{k=1}^n k \left( X_n - a \right) \right)^2 = \\ \left( \frac{2}{n^2+n} \right)^2 \mathbb{E} \left( \sum_{i,j=1}^n i \left( X_i - a \right) j \left( X_j - a \right) \right) = \left( \frac{2}{n^2+n} \right)^2 \sum_{k=1}^n k^2 \mathbb{V}\left(X_k\right) = \left( \frac{2}{n^2+n} \right)^2 \sum_{k=1}^n k^2 \sqrt{n} = \\ \left( \frac{2}{n^2+n} \right)^2 \sqrt{n} \frac{1}{6} n (n+1) (2n + 1) = \frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2 + \frac{1}{n}}{1+ \frac{1}{n} } \to 0 \text{ für } n\lim_{n\to\infty} \to 0$$

Damit sind die Voraussetzungen für (ii) erfüllt und es gilt $$\lim_{n\to\infty} X_n \xrightarrow[ ]{\text{ P }} 0$$

zu (ii)

Aus der Tschebyscheff Unfleichung folgt

$$\mathbb{P} \left\{ \left| Y_n - a \right| \le \epsilon \right\} \ge 1 - \frac{ \frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{2 + \frac{1}{n}}{1+ \frac{1}{n} } } { \epsilon^2 } \to 1 \text{ für } n \to \infty$$ Damit konvergiert $Y_n$ fast sicher gegen $a$

Sollte die $\sigma^2 = n$ gelten, konvergiert die Varianz nicht mehr gegen $0$ und somit auch $Y_n$ nicht mehr gegen den Erwartungswert.