Partialbruchzerlegung - kann am Ende der Rechnung das X beliebig gewählt werden?

Question

Ich habe diese Lösung einer Partialbruchzerlegung vor mir:

Text erkannt:

3) Partialbruchzerlegung
$y=\frac{x^{3}}{(x+1)^{2}}$
$x^{3}:\left(x^{2}+2 x+1\right)=x-2+\frac{3 x+2}{(x+1)^{2}}$
$\frac{-\left(x^{3}+2 x^{2}+x\right)}{-2 x^{2}-x}$
$=\left(-2 x^{2}-4 x-2\right)$
$3 x+2$
Nullstellen der Nennerfunktion bei $x_{1,2}=-1$
$\frac{3 x+2}{(x+1)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}$
$$3 x+2=A(x+1)+B$$
$x=-1 \rightarrow-3+2=A(-1+1)+B \rightarrow B=-1$
$x=0 \rightarrow \quad 0+2=A(0+1)-1 \rightarrow A=3$
$y=x-2+\frac{3}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}$

Meine Frage:

Kann im vorletzten Schritt (zur Berechnung von A) das x einfach beliebig gewählt werden? (in dem Fall 0)

Falls nicht: wie muss es gewählt werden?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo,

Kann im vorletzten Schritt (zur Berechnung von A) das x einfach beliebig gewählt werden? (in dem Fall 0) ->JA, Du brauchst ja einen 2. Wert.

wenn Du die Einsetzmethode nimmt, denke das willst Du.

Comments

Das A kann also variabel sein - es muss somit nicht immer 3 rauskommen, ist das richtig?

Denn wenn ich einen anderen Wert für X wählen würde, wäre das A welches am Ende rauskommt ja auch ein anderes.

Vielen Dank schonmal!

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Denn wenn ich einen anderen Wert für X wählen würde, wäre das A welches am Ende rauskommt ja auch ein anderes.->NEIN

Du kannst statt 0 jeden anderen Wert , außer -1 wählen, das Ergebnis ist immer gleich.

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Nach der Aussage habe ich das mal probiert:

x= 500

500 +2 = A ( 500 + 1 ) -1    |  +1

503 = 501A                         | : 501

1,00.... = A

verrechne ich mich hier in einem Schritt oder wieso kommt bei mir nicht A = 3 raus?

Der beliebige Wert ist bei mir x=500..

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3x+2= A(x+1) +B

3 *500 +2= A(500+1) -1

1502= A 501 -1

1503 = A 501

A=3

Answer 2

Alter und neuer Term müssen gleichwertig sein, also für alle gültigen Belegungen von x denselben Wert liefern, x kann beim Weiterrechnen also so gewählt werden, dass eine oder beide Seiten leicht auszurechnen sind.

Answer 3

Im vorletzten Schritt muss A überhaubt nicht festgelegt werden, denn es wird mit 0 multipliziert und fällt weg.