Ableitung der Funktion und Differenzierbarkeit. f(x) = (x^2 + 1/x)^3

Question

a) Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen

\( f(x)=\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)^{3}, \quad g(x)=\frac{x+1}{x-1} \quad(x \neq 1) \)

b) Bestimmen Sie \( a, b \in \boldsymbol{R} \) so, dass die Funktion \( h: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R} \) mit

\( h(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+\frac{1}{4} x & \text { falls } x \leq \frac{1}{2} \\ a x+b & \text { falls } x>\frac{1}{2} \end{array}\right. \)

differenzierbar ist. Benutzen Sie dazu die Definition der Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten.

Tipp: Die Funktion muss stetig sein, damit sie differenzierbar sein kann.

Hinweis: Die Regel von L'Hopital darf nicht benutzt werden.

Answer 1

f(x) = (x^2 + 1/x)^3
f'(x) = 3·(x^2 + 1/x)^2·(2·x - 1/x^2)

 

g(x) = (x + 1)/(x - 1)
g'(x) = (1·(x - 1) - (x + 1)·1)/(x - 1)^2
g'(x) = - 2/(x - 1)^2

 

x^2 + 1/4·x = a·x + b
(1/2)^2 + 1/4·(1/2) = a·(1/2) + b
3/8 = a/2 + b

2·x + 1/4 = a
2·(1/2) + 1/4 = a
a = 5/4

3/8 = (5/4)/2 + b
b = - 1/4