Ableitung der Funktion und Differenzierbarkeit. f(x) = (x2 + 1/x)3

Question

a) Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen

$f(x)=\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)^{3}, \quad g(x)=\frac{x+1}{x-1} \quad(x \neq 1)$

b) Bestimmen Sie $a, b \in \boldsymbol{R}$ so, dass die Funktion $h: \boldsymbol{R} \rightarrow \boldsymbol{R}$ mit

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+\frac{1}{4} x & \text { falls } x \leq \frac{1}{2} \\ a x+b & \text { falls } x>\frac{1}{2} \end{array}\right.$

differenzierbar ist. Benutzen Sie dazu die Definition der Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten.

Tipp: Die Funktion muss stetig sein, damit sie differenzierbar sein kann.

Hinweis: Die Regel von L'Hopital darf nicht benutzt werden.

Answer 1

f(x) = (x² + 1/x)³
f'(x) = 3·(x² + 1/x)²·(2·x - 1/x²)

 

g(x) = (x + 1)/(x - 1)
g'(x) = (1·(x - 1) - (x + 1)·1)/(x - 1)²
g'(x) = - 2/(x - 1)²

 

x² + 1/4·x = a·x + b
(1/2)² + 1/4·(1/2) = a·(1/2) + b
3/8 = a/2 + b

2·x + 1/4 = a
2·(1/2) + 1/4 = a
a = 5/4

3/8 = (5/4)/2 + b
b = - 1/4