Für eine 3x4-Matrix (=: A) alle B mit A*B = I_3 bestimmen...?

Question

Aufgabe:

Für  A =  \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 8 & 3 & -3 & -1 \\ 4 & 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \) bestimme man alle B∈ℚ^4x3

mit A*B = I₃

Problem/Ansatz:

Das wäre ja so was Ähnliches, wie das Inverse. Allerdings ist diese Matrix nicht quadratisch, deswegen bin ich auf die Idee gekommen, dass man 9 Gleichungssysteme aufstellt, was aber ein Haufen Arbeit wäre... Und das wäre eine Klausuraufgabe, so viel Zeit hat man doch gar nicht...

Gibt es einen einfacheren Weg für diese Aufgabe? Ich danke jeden im Voraus.

Answer 1

Das Berechnen einer inversen Matrix einer 3x3-Matrix A ist doch im Prinzip auch nichts anderes als das Lösen einer solchen Gleichung. Man löst dazu parallel die Systeme A*x=e_i für die drei Einheitsvektoren. Bei deiner Matrix A wären es auch drei Gleichungssysteme mit jeweils drei Gleichungen, eben nur mit 4 Variablen. Natürlich ist das etwas Rechenaufwand (ohne Hilfsmittel), aber noch überschaubar.