Ist eine vollständige Induktion ohne Summen- oder Produktzeichen möglich?

Question

Also bei einer  Aussage, wie beweise, dass

3*n<n^3

Das ist bei sowas Einfachem vermutlich mit Kanonen auf Spatzen geschossen, aber trotzdem würde mich interessieren, ob man die vollständige Induktion bei einem Ausdruck dieser Art anwenden könnte. Wohlgemerkt ohne Summen-/ Produktzeichen.

Answer 1

Ja sicher.                        

Answer 2

ja es gibt viele Sachverhalte ohne Summen und Produktzeichen, die man mit vollständiger Induktion zeigen kann.

Comments

Wie würde das denn dann aussehen? Also der Induktionsschritt ohne Summenzeichen?

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Das hängt natürlich vom genauen Problem ab.

Dein Beispiel:

3n<n^3 

Induktionsanfang: n=2 stimmt

Induktionsschritt:

3(n+1)=3n+3<n^3+3<n^3+3n<n^3+3n^2+3n

<n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3

Answer 3

Man kann jede Aussage über n∈ℕ mit vollständiger Induktion beweisen. Manchmal ist es aber auch möglich, den Beweis direkt zu führen (also ohne vollständige Induktion). Das geht z.B. hier 3*n<n³. Wenn n eine natürliche Zahl ist, darf man umformen in 3<n². Dies gilt aber erst ab n = 2 (nicht für n=1). 

Comments

Man kann jede Aussage über n∈ℕ mit vollständiger Induktion beweisen.
Das darf bezweifelt werden.