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Aufgabe:

Sei K ein Körper und W ein K-Vektorraum. Zeigen Sie:
a) Sei w ∈ W und α ∈ K derart, dass α · w = 0 gilt. Dann ist w = 0 oder α = 0.


Problem/Ansatz:

Moin moin,
Diese Aufgabe bereitet mir gerade einige Kopfschmerzen.
Mein Ansatz wäre, dass ich zeige, wenn a /= 0 und w /= 0 -> a*w /= 0.

Allerdings weiß Ich nicht, wie Ich das am besten zeigen soll.

Wäre über jede Hilfe sehr erfreut.
Danke

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Seien \(a \in K, \vec{w}\in W\) mit \(a\neq 0\).

        \(\begin{aligned} &  & a\cdot \vec{w} & =\vec{0} &  & |\,\cdot a^{-1}\\ & \implies & a^{-1}\cdot\left(a\cdot \vec{w}\right) & =a^{-1}\cdot\vec{0}\\ & \implies & \left(a^{-1}\cdot a\right)\cdot \vec{w} & =a^{-1}\cdot\vec{0}\\ & \implies & 1\cdot \vec{w} & =a^{-1}\cdot\vec{0}\\ & \implies & \vec{w} & =a^{-1}\cdot\vec{0}\\ & \implies & \vec{w} & =\vec{0}\\ \end{aligned}\)

Du müsstest noch zeigen: Sind \(a \in K, \vec{w}\in W\) mit \(w\neq \vec{0}\), dann gilt \(a\cdot\vec{w}=\vec{0}\implies a=\vec{0}\).

Im letzten Umformungsschritt wurde verwendet, dass \(a\cdot\vec{0} = \vec{0}\) für jedes \(a\in K\) ist. Beweis dazu:

        \(\begin{aligned} &  & a\cdot\vec{0} & =a\cdot\vec{0}\\ & \implies & a\cdot(\vec{0}+\vec{0}) & =a\cdot\vec{0}\\ & \implies & \left(a\cdot\vec{0}\right)+\left(a\cdot\vec{0}\right) & =a\cdot\vec{0} &  & |\,+\left(-\left(a\cdot\vec{0}\right)\right)\\ & \implies & \left(\left(a\cdot\vec{0}\right)+\left(a\cdot\vec{0}\right)\right)+\left(-\left(a\cdot\vec{0}\right)\right) & =\left(a\cdot\vec{0}\right)+\left(-\left(a\cdot\vec{0}\right)\right)\\ & \implies & \left(a\cdot\vec{0}\right)+\left(\left(a\cdot\vec{0}\right)+\left(-\left(a\cdot\vec{0}\right)\right)\right) & =\left(a\cdot\vec{0}\right)+\left(-\left(a\cdot\vec{0}\right)\right)\\ & \implies & \left(a\cdot\vec{0}\right)+\vec{0} & =\vec{0}\\ & \implies & a\cdot\vec{0} & =\vec{0} &  & \end{aligned}\)

Aufgabe. Gib in beiden Beweisen zu jedem Umformungsschritt das Körper- oder  Vektorraumaxiom an, das verwendet wurde.

Avatar von 105 k 🚀

Vielen Dank für die Antwort :)
Super übersichtlich und Ich habs auch verstanden dadurch!

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