Schau mal dort
https://www.mathelounge.de/725724/sei-ein-vektorraum-und-seien-u1-untervektorraume-zeigen-sie.
Auf deine Aufgabe genau bezogen:
U + W = U ∪ W ⇔ U ⊆ W oder W ⊆ U.
zu ==> : Sei U + W = U ∪ W.
Es genügt zu zeigen: U ⊄ W ⇒ W ⊆ U #.
Sei dazu U ⊄ W und u ∈ U.
Wegen U ⊄ W gibt es w ∈ W\U. Dann ist u+w ∈ U+W.
Wegen U + W = U ∪ W ist also u+w ∈ U oder u+w ∈ W. ##
Ist u+w ∈ U, dann ist w = (u+w) - u ∈ U (als Differenz zweier Elemente von U).
im Widerspruch zu w ∈ W\U.
Also muss (wegen ##) u+w ∈ W sein. Dann ist auch u = (u+w) - w ∈ W
(als Differenz zweier Elemente von W). Somit ist also # gezeigt.
Andere Richtung: Sei U ⊆ W oder W ⊆ U, o.B.d.A nehmen wir U ⊆ W.
==> U+W=W und U∪W=W also U + W = U ∪ W.
[ Bei W ⊆ U, ist beides gleich U.]
