Integral Fläche berechnen mit (ex-e^-x)

Question

f(x) ) e^x-e^-x

^{Diese Funktion schliesst mit der x-Achse für -2 ≤ x ≤ 2 eine Fläche A.}

^{Wie kann ich diese Fläche nun berechnen? Es scheitert schon bei der Bildung der Stammfunktion :-(}

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion hat im Integrationsintervall $[-2|2]$ eine Nullstelle bei $x=0$, denn $e^0-e^{-0}=1-1=0$. Daher liegen die Flächen von $[-2|0]$ und $[0|2]$ auf unterschiedlichen Seiten der $x$-Achse.

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f₁(x) = e^x-e^(-x)Zoom: x(-2…2) y(-8…8)

Daher teilen wir uns die Flächenberechnung in 2 Integrale auf:$$F=\left|\int\limits_{-2}^0\left(e^x-e^{-x}\right)dx\right|+\left|\int\limits_{0}^2\left(e^x-e^{-x}\right)dx\right|$$

Das Integral von $e^x$ ist wieder $e^x$ und das Integral von $e^{-x}$ ist $-e^{-x}$, weil die e-Funktion mit ihrer Ableitung identisch ist. Das heißt für unsere Rechnung:$$F=\left|\left[e^x+e^{-x}\right]_{-2}^0\right|+\left|\left[e^x+e^{-x}\right]_0^2\right|$$$$\phantom{F}=\left|e^0+e^0-e^{-2}-e^2\right|+\left|e^2+e^{-2}-e^0-e^0\right|$$$$\phantom{F}=\left|2-e^{-2}-e^2\right|+\left|e^2+e^{-2}-2\right|$$$$\phantom{F}=2\left|e^2-e^{-2}-2\right|\approx10,5074$$