Zeige, dass es eine Basis eines Polynoms

Question

Aufgabe: Gegeben sei B=( 1, x², (x-2)(x-1))

Zeige dass B eine Basis des Vektorraums R[x] = { a₂x² + a₁x + a₀ : a₀, a₁, a₂ ∈ R}

Problem/Ansatz:

Ich muss ja zeigen, dass die Vektoren der Basis linear unabhängig sind.

Also δ1 • 1 + δ2 • x² + δ3 •(x-2)(x-1) =0

Nur hier hab ich mein Problem: Wie geht es weiter?

Wenn ich für a0, a1, a2= 1 setze, muss ich ja zeigen, dass ich mit den Basisvektoren x² + x + 1 erzeugen kann ..

Kann ich die δ dann beliebig wählen, so das es "passt"? Oder gibt es da ein strategischeres Vorgehen?

Bei Teilaufgabe b soll ich x² + x + 1 in dieser Basis darstellen. Wie gehe ich hier vor?

Comments

Danke für deine Hilfe,

Allerdings haben wir (noch) keine Determinanten eingeführt.

Gibt es einen anderen Weg, um die Aufgabe zu lösen?

Answer 1

Aloha :)

In der Standardbasis \(S=(1,x,x^2))\) hat ein Polynom 2-ter Ordnung die Form:

$$a_0\cdot1+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)$$

In der Basis \(B=(1,x^2,2-3x+x^2)\) hat ein Polynom 2-ter Ordnung die Form:$$b_0\cdot1+b_1\cdot x^2+b_2\cdot(2-3x+x^2)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 2\\0 & 0 & -3\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}b_0\\b_1\\b_2\end{array}\right)$$

Wenn \(B\) tatsächlich eine andere Basis für die Polynome 2-ter Ordnung ist, müssen wir die \(b\)-Komponenten durch die \(a\)-Komponenten ausdrücken können. Da der Wert des Polynoms in beiden Basen derselbe sein muss, gilt:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 2\\0 & 0 & -3\\0 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}b_0\\b_1\\b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}b_0\\b_1\\b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 2\\0 & 0 & -3\\0 & 1 & 1\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)$$Wenn diese inverse Matrix existiert, sind die Basisvektoren von \(B\) linear unabhängig, weil die Determinante dann \(\ne0\) ist, und tatsächlch gilt:$$\left(\begin{array}{c}b_0\\b_1\\b_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & \frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3} & 1\\0 & -\frac{1}{3} & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\end{array}\right)$$

In Teil (b) soll das an \((1+x+x^2)=(1,1,1)^T\) überprüft werden:

$$\left(\begin{array}{c}1 & \frac{2}{3} & 0\\0 & \frac{1}{3} & 1\\0 & -\frac{1}{3} & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{5}{3}\\\frac{4}{3}\\-\frac{1}{3}\end{array}\right)$$Das heißt:$$1+x+x^2=\frac{5}{3}\cdot1+\frac{4}{3}\cdot x^2-\frac{1}{3}\left(2-3x+x^2\right)$$

Answer 2

Hallo,

zeige, dass das Gleichungssystem

$$ a_2x² + a_1x + a_0  = \alpha *1 + \beta x^2 +\gamma (x-2)(x-1) $$

für alle $$a_i$$ eine Lösung in alpha, beta, gamma besitzt.

Tipp: sortiere die rechte Seite nach den Potenzen x^0, x^1 , x^2 und führe einen Koeffizientenvergleich durch.

Comments

Super, dass verstehe ich. Und in Teilaufgabe 2 soll ich einfach die ermittelten Koeffizienten in das Polynom einsetzen?

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Bei b) hast du konkrete a_i gegeben, die kannst du dann einfach in die Lösung von Teilaufgabe a) einsetzen, da bekommst du ja Formeln für alpha, beta und gamma in Abhängigkeit von a_i.