Wie überführe ich diese Proportionalität in eine Gleichung und integriere diese?

Question

Aufgabe:

Die differentielle Abnahme der Strahlungsintensität dI(x) durch
Absorption ist proportional zur Intensität I(x) und zur differentiellen Schichtdicke dx.

a) Überführen  Sie diese Proportionalität in eine Gleichung und integrieren Sie diese.
b) Stellen Sie damit den Ausdruck für die Absorbanz A = log\( \frac{l0}{l(x)} \)  , mit l0 als Lichtintensität am Ort x = 0, auf.

Problem/Ansatz:

ich bräuchte dabei Hilfe diese Aufgabe zu lösen. Ich weiß nicht wie ich vorgehen soll und sie berechnen soll, zudem hatten wir diese Aufgabe im Unterricht vorgerechnet bekommen jedoch hat mir das nicht  geholfen die Aufgabe zu verstehen.

Answer 1

Aloha :)

zu a)

$$\left.dI=I\,dx\quad\right|\;:I$$$$\left.\frac{1}{I}\,dI=dx\quad\right|\;\text{links über }dI\text{ integrieren und rechts über }dx\text{ integrieren}$$$$\left.\ln|I(x)|=x+c_1\quad\text{mit }c_1=\text{const}\right.$$Jetzt kannst du unter beide Seiten der Gleichung die Exponentialfunktion schreiben:$$\left.e^{\ln|I(x)|}=e^{x+c_1}=e^x\cdot e^{c_1}\quad\right.$$$$\left.I(x)=c_0\cdot e^x\quad\right|\;c_0:=e^{c_1}=\text{const}$$Die Konstante \(c_0\) können wir durch die Anfangsintensität \(I_0\) bei \(x=0\) ausdrücken, denn:$$I_0=I(0)=c_0\cdot e^0=c_0$$Also ist:$$I(x)=I_0\cdot e^x$$

zu b)

Ich vermute, in der Formel muss es \(I(x)\) statt \(l(x)\) heißen?$$A=\ln\left(\frac{I_0}{I(x)}\right)=\ln\left(\frac{I_0}{I_0e^x}\right)=\ln\left(\frac{1}{e^x}\right)=-\ln(e^x)=-x$$

Comments

Hallo,

vielen Dank für Ihre Hilfe. Mir hat das sehr geholfen. Ja da hast du recht, da habe ich mich wohl vertan mit dem l.