Aloha :)
Ein freier gedämpfter harmonischer Oszillator gehorcht der Differentialgleichung:$$\ddot x+k\dot x+\omega_0^2=0$$Wir wählen einen Exponentialansatz$$x(t)=e^{\lambda\,t}\quad;\quad\dot x(t)=\lambda e^{\lambda\,t}\quad;\quad\ddot x(t)=\lambda^2 e^{\lambda\,t}$$und setzen in die Differentialgleichung ein:$$\lambda^2e^{\lambda\,t}+k\lambda e^{\lambda\,t}+\omega_0^2e^{\lambda\,t}=0$$$$e^{\lambda\,t}\left(\lambda^2+k\lambda+\omega_0^2\right)=0$$Die Nullstellen der Klammer finden wir mit der \(pq\)-Formel:$$\underline{\lambda_{1,2}=-\frac{k}{2}\pm\sqrt{\frac{k^2}{4}-\omega_0^2}}$$Das zwingt uns 3 mögliche Fälle auf:
1. Fall, der "Kriechfall": \(\frac{k^2}{4}>\omega_0^2\)
Der Radikand unter der Wurzel ist positiv, es gibt 2 reelle Lösungen für \(\lambda\):$$\lambda_{1,2}=-\delta\pm\omega\quad;\quad\underline{\delta:=\frac{k}{2}}\;\;;\;\;\underline{\omega:=\sqrt{\left|\delta^2-\omega_0^2\right|}}$$Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung ist die Linearkombination beider Lösungen:$$x(t)=Ae^{-\delta\,t}e^{\omega\,t}+Be^{-\delta\,t}e^{-\omega\,t}$$$$\underline{x(t)=e^{-\delta\,t}\left(Ae^{\omega\,t}+Be^{-\omega\,t}\right)\quad;\quad A,B\in\mathbb{R}}$$
2. Fall, der "aperiodische Grenzfall": \(\frac{k^2}{4}=\omega_0^2\)
Der Radikand ist Null, sodass \(\lambda=-\frac{k}{2}=-\delta\) die einzige Lösung ist. Die allgemeine Lösung ist nun \(e^{-\delta\,t}\) multipliziert mit einer Geraden statt mit einer Konstanten:$$\underline{x(t)=(A\,t+B)\,e^{-\delta t}\quad;\quad A,B\in\mathbb{R}}$$
3. Fall, der "Schwingfall": \(\frac{k^2}{4}<\omega_0^2\)
Der Radikand unter der Wurzel ist negativ, es gibt 2 komlexe Lösungen für \(\lambda\)$$\lambda_{1,2}=-\delta\pm i\omega$$Wie schon beim Kriechfall setzt sich die allgemeine homogene Lösung aus einer Linearkombination beider möglicher Lösungen zusammen:$$\underline{x(t)=e^{-\delta\,t}\left(Ae^{i\omega\,t}+Be^{-i\omega\,t}\right)\quad;\quad A,B\in\mathbb{C}}$$
In der Praxis ist fast immer \(x(t)\in\mathbb{R}\) gefordert und man hat reelle Anfangsbedingungen. Für diesen reellen Fall lohnt es sich sehr, den Schwingungsanteil der Lösung näher zu betrachten. Wir spalten alles in Real- und Imaginärteil auf:
$$Ae^{i\omega\,t}+Be^{-i\omega\,t}=(X_A+iY_A)(\cos\omega t+i\sin\omega t)$$$$\phantom{Ae^{i\omega\,t}+Be^{-i\omega\,t}}+(X_B+iY_B)(\cos\omega t-i\sin\omega t)$$$$\phantom{Ae^{i\omega\,t}+Be^{-i\omega\,t}}=X_A\cos\omega t+iY_A\cos\omega t+iX_A\sin\omega t+i^2Y_A\sin\omega t$$$$\phantom{Ae^{i\omega\,t}+Be^{-i\omega\,t}}+X_B\cos\omega t+iY_B\cos\omega t-iX_B\sin\omega t-i^2Y_B\sin\omega t$$$$\phantom{Ae^{i\omega\,t}+Be^{-i\omega\,t}}=X_A\cos\omega t-Y_A\sin\omega t+X_B\cos\omega t+Y_B\sin\omega t$$$$\phantom{Ae^{i\omega\,t}+Be^{-i\omega\,t}}+i\left(Y_A\cos\omega t+X_A\sin\omega t+Y_B\cos\omega t-X_B\sin\omega t\right)$$Der Imaginärteil soll verschwinden, also$$0=Y_A\cos\omega t+X_A\sin\omega t+Y_B\cos\omega t-X_B\sin\omega t$$$$\phantom{0}=(X_A-X_B)\sin\omega t+(Y_A+Y_B)\cos\omega t$$Es muss also \(X_A=X_B\) und \(Y_B=-Y_A\) bzw. \(B=A^\ast\) gelten. Setzen wir dies oben in die Lösung ein und schreiben noch \(A\) in Polarkoordinaten als \(A=|A|e^{i\varphi}\) finden wir:$$x(t)=e^{-\delta\,t}\left(Ae^{i\omega\,t}+A^\ast e^{-i\omega\,t}\right)=e^{-\delta\,t}\left(|A|e^{i\varphi}e^{i\omega\,t}+|A|e^{-i\varphi}e^{-i\omega\,t}\right)$$$$\phantom{x(t)}=e^{-\delta\,t}|A|\left(e^{i(\omega\,t+\varphi)}+e^{-i(\omega\,t+\varphi)}\right)=e^{-\delta\,t}2|A|\cos(\omega\,t+\varphi)$$Damit haben wir die allgemeine Lösung für den realen Fall:$$\underline{x(t)=e^{-\delta\,t}\,A_0\,\cos\left(\omega\,t+\varphi\right)\quad;\quad A_0\in\mathbb{R}^{>0}\;\;;\;\;\varphi\in\mathbb{R}}$$
In allen 3 Fällen sind \(\delta\) und \(\omega\) durch die Differentialgleichung vorgegeben und die Konstanten \(A\) und \(B\) bzw. \(A_0\) und \(\varphi\) müssen aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden.
