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1. Zeigen Sie, dass die Menge der geraden natürlichen Zahlen abzählbar unendlich ist. Geben Sie die entsprechende Abbildung konkret an und zeigen Sie, dass diese bijektiv ist.

2. Zeigen Sie, dass Z×Z abzählbar unendlich ist.

3. Zeigen Sie: Sind A und B abzählbar unendlich, so auch A∪B .

4. Ist die Menge der Primzahlen abzählbar unendlich? Beweisen Sie!

5. Geben Sie eine Menge an, die überabzählbar unendlich ist (abgesehen von R und R∖Q ) und begründen Sie.



Meine Ideen:
1) injektiv: f(x) = 2x = 2y = f(y)    I:2    -> x=y also injektiv
    surjektiv: für alle b Element 2ℕ ∃ a ∈ℕ : f(a) = b          b = 2a  <-> a = b/2 ,  da b durch 2 teilbar ist, muss gelten a ∈2ℕ.

4)ℕ ist abzählbar unendlich -> da die Menge der Primzahlen Teilmenge von ℕ ist, muss diese auch abzählbar unendlich sein.

5) Potenzmengen von ℕ; aber ich habe keine wirkliche Begründung -  es sind auch Teilmengen von ℕ.

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Diskussion zu den Begriffen auch hier. https://www.mathelounge.de/295630/abzahlbar-unendlich-oder-uberabzahlbar

Deine "Ideen" sind schon mal recht gut. Bitte in Zukunft jeweils nur eine Frage / Frage und die Suche noch besser ausnützen.

2. Lässt sich diagonal abzählen, ähnlich wie die Brüche hier: https://www.mathelounge.de/584264/abzahlbar-unendliche-mengen-beweis-dass-abzahlbar-unendlich

3. Vgl. https://www.mathelounge.de/297405/abzahlbar-unendliche-mengen

4. Diese Argumentation geht bei 1. auch. Du musst einfach noch zeigen ( / entsprechenden Satz erwähnen), dass es keine grösste Primzahl gibt.

5) Die Potenzmenge von ℕ; 

 ist überabzählbar. D.h. kein Wunder, dass du hier nichts Genaueres hast. Du musst somit anders suchen. 

5) Vgl. https://www.mathelounge.de/583323/uberabzahlbar-endlichen-teilmengen-abzahlbar-unendlich

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