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Sei eine Folge ( xn ) n∈ℕ definiert durch x0 ∈ ( 0,3 ) und xn+1 = \( \frac{xn + 9}{6} \). (Das n im Zähler soll eigentlich xn sein. Konnte sonst den Bruch nicht eingeben). 

Aufgabe: Zeige, dass xn monoton wachsend ist.


Problem/Ansatz:

Die gesamte Aufgabe lautet eigentlich, dass man zeigen soll, dass die rekursive Folge konvergiert. Hierfür wollte ich zeigen, dass sie monoton steigend ist und nach oben durch 3 beschränkt ist. Daraus folgt ja Konvergenz.
Dass die Folge durch 3 beschränkt ist und auch der Grenzwert 3 ist konnte ich schon zeigen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich die Monotonie zeigen kann. 
Mir ist klar, dass man zeigen muss, dass an ≤ an+1 gilt ∀ n∈ℕ. Ich hab auch schon probiert, dies durch Abschätzen zu zeigen. Induktion habe ich auch schon probiert. Allerdings macht mir x0 ∈ ( 0,3 ) hierbei Probleme. Hat jemand einen Tipp für mich?

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Kann es sein, dass die Folge \(x_{n+1}=\frac16(x_n^2+9)\) lauten sollte?

Ah ja sorry, hab das Quadrat vergessen

Dann ist \(x_{n+1}-x_n=\frac16(x_n-3)^2\ge0\).

Ja stimmt. Im Nachhinein fragt man sich immer, warum man das nicht geshen hat. :D 
Vielen Dank!!

1 Antwort

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Bilde die Differenz xn-1-xn und zeige, dass diese >0 ist:

\(x_{n+1}-x_n=\frac{x_n+9}{6}-x_n=\cdots\)

Avatar von 53 k 🚀

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