Abbildungsmatrix und Homomorphismus

Question

Abbildungsmatrix und Homomorphismus

Aufgabe:

Aufgabe $ 5-6 $ Punkte Zeigen Sie, dass die Abbildung
$$ \varphi:\left(\mathbf{C}^{*}, \cdot\right) \rightarrow \mathrm{G} \mathrm{I}_{2}(\mathbb{R}) \quad \text { mit } \quad \varphi(a+b i)=\left(\begin{array}{rr} {a} & {-b} \\ {b} & {a} \end{array}\right) $$
ein Gruppenhomomorphismus ist. Entscheiden Sie ob $ \varphi $ injektiv oder surjoktiv ist! Bogründen Sie Ihre Antworten!

Aufyabo $ 6-6 $ Punkte Die lineare Abbildung $ \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ ist bexiiglich der Standardbasis $ B $ durch $ M_{B}^{B}(\varphi)=\left(\begin{array}{cc}{1} & {4} \\ {2} & {1}\end{array}\right) $ gegeben. Geben Sie die Abbildungsmatrix $ M_{V^{\prime}}^{N^{\prime}}(\varphi) $ bezdglich der Basis $ B^{\prime}=\left(\left(\begin{array}{c}{3} \\ {5}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}{2} \\ {3}\end{array}\right)\right) $ an!
Aufyabo $ 7-8=2+2+2+2 $ Punkte Wir betrachten die Matrix $ A=\left(\begin{array}{cc}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \text { Q). Diese Matrix } A $ definiert eine
lineare Abbildung $ \varphi_{A}: \operatorname{Mat}(2 \times 2, Q) \rightarrow \operatorname{Mat}(2 \times 2, Q) $ durch $ \varphi_{A}(B)=A \cdot B $
(i) Geben Sie die Abbildungsmatrix von $ \varphi_{A} $ bezilglich der Basis $ B=\left(\left(\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {1} & {0}\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}{0} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)\right) $ von $ \operatorname{Mat}(2 \times 2, Q) $ anl
(ii) Berechnen Sie die Determinante von $ \varphi_{A} $
(iii) Berechnen Sie die Determinante von $ \varphi_{A} $ als Funktion von det $ (A) $
(iv) Beweisen Sie $ \varphi_{A} $ ist ein Isomorphismus $ \Leftrightarrow \operatorname{det}(\Lambda) ungleich 0 $

Problem/Ansatz:

ich habe Probleme bei Aufgabe 5 und 7. Ich weiß wie man Homomorphismus beweist, aber bei komplexen Zahlen komme ich immer ins Schwanken, Bei 7 weiß ich nicht wie ich A mit B darstellen soll, muss ich A einfach mit jeder Basismatrix B multiplizieren ? Wie sieht dann die Abbildungsmatrix aus und was ist mit Determinante von Phi A als Funktion von det(A) gemeint. Für eine Lösung mit Erklärung wäre ich sehr dankbar.

Gefragt 23 Jan 2020 von Sekorita

1 Antwort

mathef · Answer 1 · 2020-01-23T11:33:25+0000

Aufg. 5 Du musst nur zeigen:

Für alle u,v ∈ C* gilt φ( u*v) = φ(u) * φ(v)

wobei * links die Multiplikation in C und rechts in der Matrizengruppe

bedeutet.

Für u=a+bi und v= c+di hast du

u*v = ac-bd + (ad+bc) * i

also φ( u*v) = ac-bd -(ad+bc)
ad+bc ac-bd

Und jetzt vergleichen mit φ(u) * φ(v) =

$$ \left(\begin{array}{rr} {a} & {-b} \\ {b} & {a} \end{array}\right) *\left(\begin{array}{rr} {c} & {-d} \\ {d} & {c} \end{array}\right) $$

Das gibt das gleiche Ergebnis, also alles klar !

7) Für die Matrix der Abbildung musst du das Bild jedes Basisvektors bestimmen,

und dieses mit der gegebenen Basis darstellen. Wenn ich die Basisvektoren (also die 4 Matrizen)

mal B1 B2 B3 B4 nenne ist das Bild

von B1 ja a 0 = a *B1 + 0*B2 + c*B3 + 0*B4
c 0

also ist die erste Spalte der Matrix

a ? ? ?
0 ? ? ?
c ? ? ?
0 ? ? ?

und die Fragezeichen entsprechend mit den Bildern

der anderen 3 Basisvektoren.

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