Beweis Für alle x, y ∈ R gilt |x−y| >= |x|−|y| und |x+y| >= |x|−|y| .

Question

Für alle x, y ∈ R gilt |x−y| ≥ |x|−|y| und |x+y| ≥ |x|−|y| .

Beweis. Aus x = (x − y) + y erhält man mit der Dreiecks-Ungleichung |x|≤ |x−y|+|y|. Addition von −|y| auf beiden Seiten ergibt die erste Ungleichung.
Ersetzt man y durch −y, folgt daraus die zweite.

 Das ist die Lösüng steht auf dem Buch, aber wenn wir y durch -y erssetzen, dann haben wir:

x = (x+y) - y

=> |x| ≤ |x+y| - |y|

=> |x| + |y| ≤ |x+y|

Tue ich etwas falsch? Weil die Dreiecks-Ungleichung sagt |x+y| ≤ |x| + |y|

Hilfe bitte :(

Answer 1

Aloha :)

Es ist \(\pm x\le|x|\) und \(\pm y\le|y|\), daher gilt:$$x+y\le|x|+|y|\quad\land\quad-(x+y)\le|x|+|y|$$Das können wir zusammenfassen:$$|x+y|\le |x|+|y|$$

Damit gilt nun aber auch:$$|x|=|x-y+y|\le|x-y|+|y|\quad\Leftrightarrow\quad|x|-|y|\le|x-y|$$$$|x|=|x+y-y|\le|x+y|+|-y|\quad\Leftrightarrow\quad|x|-|y|\le|x+y|$$