0 Daumen
789 Aufrufe

Ich benötige Hilfe bei der Grenzwertberechnung nach de L'Hospital:

limx0+(1+sinx)1x=\lim_{x\to 0^+} (1+\sin x)^{\frac{1}{x}} =

Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort


Du weißt ja sicher, dass eln(x) e^{ln(x) } =x ist. Das machen wir uns zu Nutzen, denn mit dem Logarithmus wird aus ^(1/x) -> *1/x, also 

limx 0+ \lim\limits_{x\to\ 0^+} (1+sin(x)1/x (1+sin(x)^{1/x}

=limx 0+ \lim\limits_{x\to\ 0^+} eln((1+sin(x)1/x) e^{ln((1+sin(x)^{1/x}) }

Jetzt kannst du die besagte Logarithmus-Regel anwenden

=limx 0+ \lim\limits_{x\to\ 0^+} e1xln(1+sin(x)) e^{\frac{1}{x}ln(1+sin(x)) }

Da die e-Funktion stetig ist, darfst du den Limes in die Funktion reinziehen

=elimx 0+ln(1+sin(x))x e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{ln(1+sin(x))}{x}}

Überprüfe jetzt mal, ob du L' Hospital anwenden darfst :)

Avatar von

elimx 0+00e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{0}{0}}

wie komme ich weiter ?

ddx[ln(1+sin(x))]=1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[\ln (1+\sin (x))]=1

und

ddx[x]=1 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[x]=1

elimx 0+11=1e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{1}{1}}= 1

Als Grenzwert habe ich 1 bekommen. Ist das so richtig ?

Also auf jeden Fall richtig gedacht, aber ein paar kleine Fehler. Man schreibt dann nicht 0/0 in den Limes, sondern eher einen Satz in deine Rechnung, z. B: 0/0-Situation, also darf L'Hospital angewendet werden.

Dann hast du geschriebe, dass d/dx(ln(1+sin(x))) = 1 ist, das ist falsch notiert. Die Anleitung hat an der Stelle x=0 den Wert eins, es ist aber nicht die ganze Ableitung gleich 1.

Zudem steht da doch, nachdem du den Grenzwert genommen hast (bei dir steht schon 1/1 vorm Grenzwert nehmen), e^(1/1), was aber nicht 1 ist, sondern e. Ich schreibe dir mal im nächsten Kommentar, wie ich es verständlich aufschreiben würde :)

elimx 0+ln(1+sin(x)x e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{ln(1+sin(x)}{x}} liegt vor, nun ergäbe sich bei der Grenzwertbetrachtung eine 0/0-Situation, weshalb mit L´Hospital folgt

=elimx 0+(ln(1+sin(x))´x´ e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{(ln(1+sin(x))^´}{x´}}

=elimx 0+cos(x)sin(x)+11 e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{\frac{cos(x)}{sin(x)+1}}{1}}

=elimx 0+cos(x)sin(x)+1 e^{\lim\limits_{x\to\ 0^+}\frac{cos(x)}{sin(x)+1}}

=ecos(0)sin(0)+1 e^{\frac{cos(0)}{sin(0)+1}}

=e10+1 e^{\frac{1}{0+1}}

=e1 e^{1}

=e

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage