Wie wende ich diese Formel für die Umkehrfunktion hier an?

Question

Hi, ich stehe gerade leider komplett auf dem Schlauch:(

Ich soll folgendes berechnen:

$$(f^{-1})'(1)$$ wobei $$f(x)=x+e^{x}$$

und dabei die folgende Formel anwenden
$$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$

könnt ihr mir vielleicht helfen diese Formel anzuwenden? Ich habe die ganze Zeit einfach händisch die Umkehrfunktion und danach die Ableitung berechnet...

Gurkeneintopf

Answer 1

Hallo,

$f^{-1}$ ist gegeben durch $f^{-1}(x)=x-W(e^x)$ und $f'$ durch $f'(x)=1+e^x$, also:$$(f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{2}$$ Dass die Lambertsche W-Funktion bei $x=e$ gleich $0$, setze ich voraus.