Einen Vektor berechnen, um den kürzesten Abstand von Punkt zu Gerade zu bekommen.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie ein v∈g, welches den geringsten Abstand zu P hat.

P=(0  2)

g: u=(2  1)+λ(1  -2)

Problem/Ansatz:

Nen wirklichen Ansatz hab ich nicht. Falls es hilft der normale Abstand vom Punkt zur Geraden ist $\frac{3}{4}$$\sqrt{5}$

Die Lösung lautet: v=$\frac{1}{5}$(6  13)

[Die Vektoren sind Vertikal zu lesen]

Vielen Dank für die Antworten

Answer 1

Die Elemente einer Geraden sind Punkte keine Vektoren.

Die Aufgabe fragt nach dem Lotfußpunkt - schreiben wir in Groß V

Der Vektor VP⊥ Richtungsvektor g(t):=(2,1)+ t (1,-2)

==> (V-P) ((1,-2)) =0

V∈ g(t) ==> (g(t)-P) (1,-2)=0

==> t ===> V=g(t)

Kommst Du damt klar?

Answer 2

Aloha :)

Der Abstand zwischen einem Punkt der Geraden und dem Punkt $P(0|2)$ ist:

$$d=\left|\binom{2}{1}+\lambda\binom{1}{-2}-\binom{0}{2}\right|=\left|\binom{2}{-1}+\lambda\binom{1}{-2}\right|=\left|\binom{2+\lambda}{-1-2\lambda}\right|$$$$\phantom{d}=\sqrt{(2+\lambda)^2+(-1-2\lambda)^2}=\sqrt{4+4\lambda+\lambda^2+1+4\lambda+4\lambda^2}=\sqrt{5\lambda^2+8\lambda+5}$$Wir suchen nun die Stelle $\lambda$, für die $d$ bzw. $d^2$ minimal wird:

$$d^2=5\lambda^2+8\lambda+5=5\left(\lambda^2+\frac{8}{5}\lambda+\left(\frac{8}{10}\right)^2-\left(\frac{8}{10}\right)^2+1\right)$$$$\phantom{d^2}=5\left(\left(\lambda+\frac{8}{10}\right)^2-\frac{64}{100}+1\right)=5\left(\left(\lambda+\frac{4}{5}\right)^2+\frac{36}{100}\right)$$$$\phantom{d^2}=5\left(\lambda+\frac{4}{5}\right)^2+\frac{9}{5}$$Für $\lambda=-\frac{4}{5}$ wird also der minimale Abstand $d=\sqrt{\frac{9}{5}}=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3}{5}\sqrt5$ erreicht. Der gesuchte Punkt $\vec v$ auf der Geraden ist:$$v=\binom{2}{1}-\frac{4}{5}\binom{1}{-2}=\frac{1}{5}\binom{10}{5}-\frac{1}{5}\binom{4}{-8}=\frac{1}{5}\binom{6}{13}$$Der Vektor $\vec v$ aus der Musterlösung stimmt, aber der Abstand ist $d$ ist falsch.

Comments

Hej also ich bin auf die Ergebnisse der Musterlösung gekommen.

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 @Tschaka

Beim Richichtungsvektor fehlt ein Minus (1,-2)

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Ah, ja ein Schusselfehler... ich habe ihn korrigiert.

Jetzt stimmt der Punkt, aber der Abstand aus der Musterlösung ist falsch.

Danke @wächter für den Hinweis ... ;)