Volumenverhältniss von 2 ähnlichen, regulären 3-seitigen Prismen wovon eines einer Kugel eingeschrieben ist

Question

Aufgabe:

Einer Kugel mit dem Radius r ist ein gerades dreiseitiges reguläres Prisma umbeschrieben und ein ähliches einbeschrieben. Berechnenn Sie das Verhältnis der beiden Volumen der beiden Prismen.

Problem/Ansatz:

 Mir ist klar: Das Volumen des grossen Prismas zum kleinen Prisma verhält sich gleich wie egal welche Seite des grossen hoch 3 verglichen mit der selben Seite des kleinen hoch 3.

Die Höhe des grossen Prismas müsste 2r sein.

Von der Mitte der Kugel aus, welches auch die Mitte des kleinen Prismas ist, lässt sich eine  3-seitige Pyramide mit 3 Kanten, welche die länge r haben zeichnen.

In den Lösungen von meinem Lehrer benutzt er diese Eigenschaft und rechnet etwas mit der Raumdiagonale von einem 4-seitigen Prisma, das ich nicht verstehe.

Die Lösung ist \( \sqrt{5} \)³

^{Hat jemand eine Idee wie ich mir das visualisieren kann und es Lösen kann?}

^{Meine Zeichenkünste sind miserabel und mit 3D Rechnern komme ich nicht klar.}

^{Vielen Dank im Voraus}

Comments

"Die Höhe des großen Prismas müsste 2r sein."

Das ist richtig.

Und außerdem hat der Inkreis der Grundfläche den Radius r.

Damit gelingt die Beschreibung des Volumens des umbeschriebenen Prismas in Abhängigkeit von r.

Die Beschreibung des Volumens des einbeschriebenen Prismas in Abhängigkeit von r ist deutlich schwieriger.

Hier ist der Schwerpunkt S des Prismas der Mittelpunkt der Kugel. Das Volumen ist zusammengesetzt aus zwei dreieckigen und drei rechteckigen Pyramiden, die alle in S aneinanderstoßen und die von S ausgehende Kantenlänge r haben.

Answer 1

Die Beschreibung des Volumens des einbeschriebenen Prismas in Abhängigkeit von r ist deutlich schwieriger.

Wird aber bei gescheitem Vorgehen auch gar nicht gebraucht.

Für die Grundfläche des der Kugel umbeschriebenen Prismas gilt, dass der Abstand ihres Mittelpunktes zur Seite r beträgt und deshalb der Abstand ihres Mittelpunktes zum Eckpunkt 2r sein muss. Nach Pythagoras ist der Abstand des Eckpunktes zum Kugelmittelpunkt also  √((2r)^2 + r^2)  =  r·√5  Dieser Abstand wird für das einbeschriebene Prisma auf r verkürzt. Der Maßstabsfaktor ist also √5 und das Verhältnis der Volumina mithin √5^3.

Comments

Warum ist das ein Kommentar und keine Antwort? Es geht doch um den FS und nicht um dich oder mich.

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Ich Danke euch beiden.

Roland, deinen Lösungsweg kann ich mir leider nicht vorstellen, wie gesagt habe ich ziemlich Mühe im 3D denken.

hj2166, mit deinem Vorschlag habe ich es tatsächlich geschaft und konnte es nachvollziehen.

Danke nochmals.

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@hj2166, Arni2808:

Dieser Abstand wird für das einbeschriebene Prisma auf r verkürzt.

Das impliziert, dass die Mittelpunkte der Um- und Inkugel des beschriebenen Prismas zusammen fallen. Was hier aber der Fall ist, da im gleichseitigen Dreieck die Mittelpunkte von Um- und Inkreis identisch sind.

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die Mittelpunkte der Um- und Inkugel des beschriebenen Prismas

ist eine unklare Formulierung. Es geht doch nicht um zwei Kugeln für ein Prisma sondern um zwei Prismen für eine Kugel.

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Es geht doch nicht um zwei Kugeln ...

Nö - habe ich auch nicht gesagt. Es ist nur eine Kugel, die aus Sicht des großen Prismas eine Inkugel und aus Sicht des kleinen Prismas eine Umkugel ist. Und die von Dir vorgeschlagenen Skalierung lässt sich genau dann korrekt durchführten, wenn man annimmt, dass bei der Schrumpfung des Prismas dieser Mittelpunkt seine Position nicht verändert.

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So wie ich es she, ist j2166's Ansatz korrekt, denn ich kam damit auf das richtige Resultat.

Das impliziert, dass die Mittelpunkte der Um- und Inkugel des beschriebenen Prismas zusammen fallen.

Damit deutest du an, dass es sich um 2 Kugeln und ein Prisma handelt.

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So wie ich es sehe, ist hj2166's Ansatz korrekt ..

Ja - er ist korrekt; nur unvollständig. Versuche den Ansatz mal mit einem Prisma, welches ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck als Grundfläche hat. Dann siehst Du den Unterschied.

Answer 2

Ich kam der Versuchung nach das Gesamt-Kunstwerk nach zu bauen...

Was ich habe ist ein Prisma mit a_1 über alle Seiten und Kugel drumrum mit Radius r. Dadrumrum ein Prisma (Grundflächenseite a_2, Höhe 2r), dass die Kugel als Projektion ein Inkreis des Grundflächedreiecks ergibt. War das so zu verstehen?

Dann wäre ich mit euerem Ergebnis nicht kompatibel....

Guckst Du

https://www.geogebra.org/m/qjyj5z6a

Comments

Sieht gut aus und sollte eigentlich stimmen.

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Ich erhalte für diese Konstruktion ein Volumen verhältnis von 1/49√21. Das die in sich stimmig ist kannst Du durch Ändern des Kugelradius überprüfen.

Da müssen die Kollegen eine andere Konstruktion betrachtet haben. Ich habe die Diskussion oben nicht verfolgt und nicht mitgedacht. Ich sehe nur ein paar Fragezeichen...

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Dieses Verhältnis weicht um en Faktor 20 von der richtigen ab, komisch.

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Meine Fragezeichen:

Prismen sind ähnlich?

Das innere Prisma hat die Seiten a1 und die Höhe a1. Das äußere hat die Höhe 2r und die Seite a2=2√3 r ===> die Prismen sind nicht ähnlich. Wenn sie ähnlich sein sollen, dann kann das äußere nicht der Kugel umbeschrieben sein?

Wie also sieht die Konstruktion zur Musterlösung aus?

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Laut Aufgabenstellung sind die Prismen ähnlich und laut der Lösung ist das Volumenverhältnis \( \sqrt{5} \)^3

Es gibt lediglich eine Handschriftliche Musterlösung des Lehrers, allerdings in 2D. Und handschriftliches darf man ja leider nicht posten.

Ich verstehe nicht ganz wieso die nicht ähnlich sein sollen, kannst du mir das eventuell einfach erklären?

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Ich hab die Aufgabe so verstanden, dass die Prismen über alle Seiten gleich lang sind - und das führt auf Widersprüche - dann passt ein Prisma nicht zum anderen.

Die Lösung stimmt, wenn man das äussere Prisma in die Kugel projeziert  (Z=M Zentrische Streckung) also:

\(\small Z(X)= \frac{1}{\sqrt{5}} \; \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right) \; \left(X - M \right) + M\)

Ich hab die AUfgabe missverstanden: Bezüglich "regelmässig" und versucht alle Kanten der Prismen auf der gleiche Länge zu halten...

BTW:

Selbstverständlich darfst Du handschriftliches Posten: Nur kein copyright-geschütztes Material sollest Du in das Netz stellen!