Stereometrie Dreiecksprisma und Pyramide mit Verhältnis

Question

Aufgabe:

Ein reguläres Dreiecksprisma, dessen KAnten alle 12 cm messen, ist so einer dreiseitigen geraden Pyramide eingeschrieben, dass die Kanten der Grundflächen parallel verlaufen. Wie gross ist das Volumen der Pyramide, wenn die Grundfläche des Prismas 4/9 der Pyramidengrundfläche beträgt?

Problem/Ansatz:

Ich verstehe einfach nicht, wieso meine Lösung falsch sein sollte.

Alle Kanten des Prismas sind gleich gross, also ist die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck. Daraus folgt, dass die Fläche davon 12^2/4 * Wurzel 3 ist. Und dann noch: Die Fläche des Prismas * 4/9, damit man die Fläche der Pyramide hat.

Wieso ist das falsch?

Ich hasse so Verhältnisaufgaben soo sehr, weil ich einfach nichts darunter verstehe. Was heisst Grundfläche ist 4/9 der Pyramidenfläche. Was soll das heissen? 4/9 von der ganzen Pyramidenfläche ist die Fläche des Prismas. Was bringt mir das jetzt? Wie kann ich jetzt damit etwas sinnvolles anstellen? Genau solche Aufgaben lassen mich verzweifeln.

Comments

Wenn du zwei ähnliche Dreiecke hast, deren entsprechende Seiten sich jeweils wie 1:k verhalten, dann verhalten sich die Flächeninhalte dieser beiden Dreiecke wie 1:k².

Umkehrschluss: Wenn sich die Grundflächen von Prisma und Pyramide wie (4/9):1 = 4:9 verhalten, dann verhalten sich die Seitenlängen der beiden gleichseitigen Grunddreiecke wie 2:3.

Somit hat die Pyramide als Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 18 cm.

Wenn man von den Eckpunkten des großen Dreiecks aus Strahlen durch die Eckpunkte der Deckfläche des Prismas legt  , schneiden sich diese Strahlen in der Spitze der Pyramide, und nach Strahlensatz ist das in einer Höhe von 36 cm.

Berechne nun das Volumen der Pyramide aus diesen Angeben.

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Das was du gerade sagst, das ist genau diese Theorie, die mir fehlt. Wie kann ich mir das verdeutlichen? Ich habe gemerkt, dass das die ganze Zeit kommt. Es kommt permanent, dieses Längen, Flächen- und Volumenverhältnis. Wie kann ich mir das verdeutlichen?

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Wie kommst du von 2:3 auf 18?

Hast du dir das so überlegt: 12 ist 2/3 also ist 6 1/3

3 * 6 = 18 ??

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Nimm dir eine Strecke der Länge , sagen wir mal, 3; und eine Strecke der Länge 5.

Die Längen verhalten sich wie 3:5.

Nimm dir jetzt ein Quadrat der Seitenlänge 3 und ein Quadrat der Seitenlänge 5.

Ihre Flächeninhalte sind 3²=9 und 5²=25. Sie verhalten sich also nicht wie 3:5, sondern wie 9:25 bzw. wie (3:5)².

Nimm dir jetzt einen Würfel der Kantenlänge 3 und einen Würfel der Kantenlänge 5.
Ihre Volumina sind 3³=27 und 5³=125. Sie verhalten sich also nicht wie 3:5, sondern wie 27:125 bzw. wie (3:5)³.

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Das habe ich verstanden, aber wie bist du auf 1/k gekommen?

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Wie kommst du von 2:3 auf 18?

2:3= 12 : x

Das ist das Verhältnis der beiden roten Strecken, deshalb gilt x=18.

Das ist auch das Verhältnis der beiden grün eingezeichneten Höhen (die sich laut Aufgabe um 12
cm unterscheiden. Deshalb ist die kleinere Höhe 24 und die größere Höhe 36.

Das habe ich verstanden, aber wie bist du auf 1/k gekommen?

Das obige Verhältnis 3:5 kann auch als 1:(5/3) beschrieben werden.

Ich habe dir also konkret die Situation für k=5/3 beschrieben.

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Wie hast du herausgefunden, dass sie sich wie 1/k verhalten? Wenn ich das verstehe, verstehe ich sicher das andere auch viel besser. Ist das einfach so? Wenn zwei Figuren ähnlich sind, dann verhalten sich ihre Längen wie 1/k ? Und wieso hast du dann plötzlich beim Einsetzen (4/9) oben und 1 unten. Das ist doch etwas anderes als 1/k?

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Wie weiss ich jetzt, welche Länge ich oben haben muss?

1: (5/3) oder 1: (3/5) ??

Du merkst sicherlich, dass ich dieses Thema so gar nicht kann und immer nur wegen dem an allem in der Geometrie scheitere.

Answer 1

Dann drehe das Verhältnis um.

Wenn die kleiner zur größeren sich wie 4:9 verhält, verhält sich die größere zur kleineren Fläche wie 9:4 = 1:(4/9).

Comments

Also soll ich mir das so merken, immer wenn ich ein Verhältnis gegeben habe, dann muss ich das hier anwenden: 1/k.

Z.B. Die Fläche einer Kugel verhält sich zur Fläche einer anderen Kugel wie 2:3.

Das Volumen verhält sich dann wie: 1:(2/3)^3 = 27/8 ???

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Danke für deine Hilfe. Ich glaube, dass ich es jetzt verstanden habe.