Stimmt das so? Zeige, dass auf Monotonie nicht verzichtet werden kann. Man finde eine Folge (an) nicht negativer

Question

Reihe konvergiert - stimmt das so? 

ich muss folgende Aufgabe lösen:

Zeige, dass auf Monotonie nicht verzichtet werden kann. Man finde eine Folge (a_n) nicht negativer reeller Zahlen mit ∑a_n < ∞ ist, so dass n*a_n keine Nullfolge ist.

Je öfter ich die Aufgabe lese, desto unsicherer bin ich mir, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe. Was meint ihr?

Sei a_n = 1/n² für n gerade und 0 sonst. Offensichtlich ist (a_n) eine Nullfolge. Aber die Reihe ∑na_n divergiert, denn ∑n*1/n² = ∑ 1/n. Dies ist die harmonische Reihe, sie divergiert.

Nachtrag: 

 

Unser Satz lautete:

Sei a_n eine monoton fallende Nullfolge mit ∑a_n < ∞. Dann ist (b_n)_(n∈ℕ) mit b_n=n*a_n eine Nullfolge.

Comments

Zeige, dass auf Monotonie nicht verzichtet werden kann. Man finde eine Folge (a_n) nicht negativer reeller Zahlen mit ∑a_n < ∞ ist, so dass n*a_n keine Nullfolge ist.

Das Problem scheint mir, dass du gar nicht auf die Monotonie eingehst. Was ist denn genau euer Satz, bei dem diese Monotonie gefordert ist?

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Unser Satz lautete:

Sei a_n eine monoton fallende Nullfolge mit ∑a_n < ∞. Dann ist (b_n)_(n∈ℕ) mit b_n=n*a_n eine Nullfolge.

(Kriege die Indizes leider nicht in eine Reihe)

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Ich hab mich  nochmal mit der Aufgabe beschäftigt und ich finde absolut kein Beispiel.

an muss doch monoton sein, damit die Reihe überhaupt konvergiert. Wenn wir dabei keine monoton fallende Nullfolge haben, wie in dem Satz, sondern eine monoton wachsende Folge nehmen würden, dann haben wir aber doch negative Zahlen?! Wie soll das denn dann funktionieren?