Kombinatorik: Verteilung mit Treffern auf verschiedene Ziele

Question

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe und bin mir nicht sicher, ob mein Ansatz richtig ist bzw. ob es nicht irgendeinen (deutlich) einfacheren Weg gibt, den ich übersehe. Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen.

Aufgabe:

Du hast 8 Freunde verteilst 8 Gummibärchen zufällig an deine Freunde. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau vier deiner Freunde keine Gummibärchen bekommen?

Problem/Ansatz:

Zuerst habe ich mir überlegt, dass ich die Freunde in zwei Gruppen aufteile, "Treffer" für Freunde mit Gummibärchen und die anderen.
Ich habe also $$\begin{pmatrix} 8\\4 \end{pmatrix}$$ Möglichkeiten Treffer aus den Freunden zu bilden. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich die Gummibärchen genau an diese vier verteile ist $$\frac{1}{2}$$

also ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 8 Gummibärchen bei vier Freunden landen:

$$\begin{pmatrix} 8\\4 \end{pmatrix} * (\frac{1}{2})^8$$

Jetzt habe ich aber noch die Möglichkeiten, dass bei den vier Freunden die Gummibärchen nur auf drei, zwei oder einen verteilt sind. Also ziehe ich die Wahrscheinlichkeit, dass einer der vier keinen Gummibären kriegt, dass zwei keinen kriegen und dass drei keinen kriegen davon ab.

$$P(\text{Gummibären auf vier Freunde}) = \begin{pmatrix} 8\\4 \end{pmatrix} * (\frac{1}{2})^8 - (\frac{3}{4})^8 - (\frac{2}{4})^8 - (\frac{1}{4})^8 \approx 0,169$$

Ergibt das irgendeinen Sinn? Und es gibt doch bestimmt irgendeinen logischeren Weg, oder?

Lg und vielen Dank

Comments

Hat keiner ne Idee?

Ich glaube irgendwie, dass der Weg ziemlicher Unsinn ist...

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Du hast 8 Freunde verteilst 8 Gummibärchen zufällig an deine Freunde

Es handelt sich dabei um eine der Paradoxien zur Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Solange der Verteilungs-Modus nicht genauer spezifiziert wird kann keine eindeutige Antwort auf die Frage gegeben werden.

Answer 1

Wahrscheinlich behandelt ihr gerade das Thema "Zahlpartitionen". Lies mal "Partitionsfunktion" in Wikipedia!

https://de.wikipedia.org/wiki/Partitionsfunktion

Vorüberlegung:

Verteile mal 4 positive nat. Zahlen auf 4 Stellen, so dass die Summe der Zahlen 8 ergibt. Wieviele Möglichkeiten gibt es?

1+1+1+5      (4 Möglichkeitenmit Vertauschungen)

1+1+2+4      (12)

1+1+3+3      (6)

1+2+2+3      (12)

2+2+2+2      (1)

                 -----------

macht:       35 Fälle

Was gezählt wird, nennen wir "geordnete Zahlpartitionen". Die Anzahl nennen wir g(4,8).

Satz: g(k,n)=\( \begin{pmatrix} n-1\\k-1 \end{pmatrix} \)

Bsp.: g(4,8)=\( \begin{pmatrix} 7\\3 \end{pmatrix} \) =35

Wieviel Möglichkeiten gibt es, die 4 auszuwählen, die Gummibären bekommen? \( \begin{pmatrix} 8\\4 \end{pmatrix} \)

Auf wieviele Arten kann man die 8 Gummibärchen auf genau 4 Leute verteilen: \( \begin{pmatrix} 8\\4 \end{pmatrix} \)*g(4,8)

Wieviele Möglichkeiten gibt es 8 Gummibärchen auf genau 1,2,3,...oder 8 Leute zu verteilen?

P(8 Gummibären auf genau 4 Freunde) =\( \frac{ \begin{pmatrix} 8\\4 \end{pmatrix} *g(4,8)}{\sum\limits_{n=1}^{8}{\begin{pmatrix} 8\\n \end{pmatrix} *g(n,8)}} \) =\( \frac{ \begin{pmatrix} 8\\4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 7\\3 \end{pmatrix}}{\sum\limits_{n=1}^{8}{\begin{pmatrix} 8\\n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7\\n-1 \end{pmatrix}}} \) = 490/1287 = 0,38073

Comments

Reicht das oder soll ich die ganze Lösung hinschreiben?

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Du musst in jedem Fall die Wahrscheinlichkeit angeben, z.B. nach Laplace als Quotient aus der Anzahl der günstigen Möglichkriten und der Anzahl aller Möglichkeiten sofern diese alle gleichwahrscheinlich sind.
Die Anzahl aller Möglichkeiten, 8 Bären an 8 Freunde zu verteilen, könnte z.B. aus der Überlegung "8 Möglichkeiten für den ersten Bären, 8 Möglichkeiten für den zweiten Bären, ..., 8 Möglichkeiten für den letzten Bären macht insgesamt 8^8 mögliche Verteilungen" erwachsen.