Lösungen der Gleichung cos²(x) = sin²(2x)

Question

Aufgabe:

Zu bestimmen sind alle reellen Lösungen der Gleichung: cos²(x) = sin² (2x)

Problem/Ansatz:

Hab es mit Additionstheoremen versucht, habe damit 4sin(x) = cos(x) raus. Verstehe aber nicht wie ich daraus reelle Lösungen ermitteln kann.

Answer 1

Hallo,

\( \cos^2(x)=\sin ^{2}(2 x) \)

\( \sin (2 x)=2 \cos (x) \cdot \sin (x) \)
\( \cos ^{2}(x)=4 \cos ^{2}(x) \sin ^{2}(x) \)
\( \sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x) \)
\( \cos ^{2}(x)=4 \cos ^{2}(x)\left(1-\cos ^{2}(x)\right) \)
\( \cos ^{2}(x)=4 \cos ^{2}(x)-4 \cos ^{4}(x) \cdot |-cos ^{2}(x) \)
\( 0=3 \cos ^{2}(x)-4 \cos ^{4}(x) \)
\( 0=\cos ^{2}(x)\left(3-4 \cos ^{2}(x)\right) \)
Satz vom Nullprodukt :
a) \( \cos ^{2}(x)=0 \)
\( x_{1}=\frac{\pi}{2}+2 k \pi ; k∈G \)
\( x_{2}=\frac{3 \pi}{2}+2 k π \)
b) \( \begin{aligned} 3-4 \cdot \cos ^{2}(x) &=0 \\-4 \cos ^{2}(x) &=-3 \end{aligned} \)
\( \cos ^{2}(x)=\frac{3}{4} \)
\( x_{3}=\frac{\pi}{6}+2 k \pi ; k \in G \)
\( x_{4}=\frac{11 π}{6}+2 k π \)
\( x_{5}=\frac{5 \pi}{6}+2 k π \)
\( x_{6}=\frac{7 \pi}{6}+2 k π \)

Comments

Vielen Dank!!! Die Lösungsmengen bei cos(x) = 0 verstehe ich. Aber cos²  (x) = 3/4 wäre x3 dann nicht 4pi/6 + 2kpi ? und wie kommst du auf die weiteren Ergebnisse? Es ist sehr lange her das ich Mathe hatte, muss jetzt eine Prüfung aus dem 2. Semester nachschreiben deswegen die fragen :S

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\( \cos ^{2}(x)=\frac{3}{4} \quad z=\cos (x) \)

\( z^{2}=\frac{3}{4} \Rightarrow z=\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Rücksubstitution:

\( z=\cos (x) \)

a) \( \cos (x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \) b) \( \cos (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( x_{1}=\frac{\pi}{6}+2 k π ;k ∈ G \quad \quad x_{3}=\frac{5 \pi}{6}+2k \pi \)

\( x_{2} = \frac{11}{\pi}{6} + 2 k \pi \quad x_{4} = \frac{7 \pi}{6}+2 k π \)

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Danke nochmal.. Ich habe jetzt endlich x1 und x3 verstanden, aber wie kommst du auf die 2 andere Werte? Also x2 und x4?

Answer 2

sin(2x) = 2*sinx*cosx

sin^2(2x) = (2*sinx*cosx)^2 = 4sin^2(x)*cos^2(x)

4sin^2(x)*cos^2(x) -cos^2(x) = cos^2(x)*(4*sin^2(x)-1)

Verwende den Satz vom Nullprodukt!

Answer 3

sin(x+x)=2sin(x)cos(x). Dann cos²(x)=4sin²(x)cos²(x). Außerdem sin²(x)=1-cos²(x).

Dann: cos²(x)=4(1-cos²(x))cos²(x). Setze cos²(x)=z und löse z=4(1-z)z. Resubstituiere und bestimme x.