Diagonalisierbarkeit einer Matrix mit parametern. Ohne alg.vielfachkeit.

Question

Aufgabe:

(a) Welche Bedingungen müssen die Parameter µ, ν ∈ R erfüllen, sodass die Matrix
\( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & μ \\ 3 & 0 & v \end{pmatrix} \)  ∈ M₃(ℝ)
diagonalisierbar ist?

Problem/Ansatz:

Ich habe hier eine Aufgabe zur diagonalisierbarkeit und habe gerade keine ahnung wie ich sie lösen kann. Ich habe es schon mit der Determinante versucht und habe bis jetzt keine Eigenwerte gefunden. Ich brauche hilfe dies zu verstehen.

Comments

Hallo :) du kannst dir auch diese Frage anschauen:

https://www.mathelounge.de/76613/eigenvektoren-eigenwerte-bestimmen-diagonalisierbarkeit

Da ist es auch sehr toll erklärt.

LG

Answer 1

Nein, ist sie nicht:

\(\small A-\lambda E \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}-\ell + 2&0&0\\0&-\ell + 2&m\\3&0&-\ell + v\\\end{array}\right)\)

Die 3 unten lässt sich wegräumen und die Diagonale bleibt wie sie ist. d.h.

λ₁ = 2 doppelter EW

λ₂=v einfacher EW

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}\lambda=&2&\left(\begin{array}{rrr}0&0&0\\0&0&m\\3&0&v - 2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\lambda=&v&\left(\begin{array}{rrr}2 - v&0&0\\0&2 - v&m\\3&0&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)\)

Für λ₁ ist nur x2 unbestimmte Variable ===> Dim Eigenraum =1 ==> keine Diagonalmatrix

Answer 2

Ich glaube, die Antwort von waechter ist nicht ganz richtig.

Für μ=0 und ν≠2 ist diese Matrix diagonalisierbar, da dann die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten übereinstimmen

Comments

Yep, da hast Du recht! Danke, für den Hinweis!

Ich hab nur den EV betrachtet - weiter oben kann man ja auch noch angreifen...

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Kann man mir das besser erklären was hier passiert ? Ich verstehe das gerade nicht.

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Aber wie ist die dann diagonalisierbar ? Ich brauche es etwas visueller. Ich verstehe das nicht, wenn ich es ausrrechne bekomme ich keine 3 vektoren raus. Vielleicht mach ich etwas falsch

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Für v=0

λ=2:

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 &0\\ 0 & 0&0\\3 &0& v \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1          \\x_2\\x_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0        \\0\\0\end{pmatrix}$$ liefert die Eigenvektoren

$$ \begin{pmatrix} -v        \\0\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0        \\1\\0\end{pmatrix}$$

λ=v:

$$\begin{pmatrix} 2-v & 0 &0\\ 0 & 2-v&0\\3 &0& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1          \\x_2\\x_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0        \\0\\0\end{pmatrix}$$ liefert den Eigenvektor  $$ \begin{pmatrix} 0        \\0\\1\end{pmatrix}$$