Position auf 2D Matrix anhand gewichteter Werte berechnen

Question

Aufgabe

(Normalisierte) Daten einer 4x4 Pixel Infrarotkamera:

0 → kalt, 1 → warm

0	0.75	1	0.25
0.25	1	0.75	0
0	0.5	0.25	0
0	0.25	0	0

Hintergrund: Diese Daten stammen von einer Infrarotkamera und sollen die Position einer Person aufzeigen.

Problem

Wie kann man aus diesen Daten den Mittelpunkt berechnen? Die Felder sind folgend angeordnet:

x1y1	x2y1	x3y1	x4y1
x1y2	x2y2	...	...
x1y3	...	...	...
x1y4	...	...	...

Es sollte (wenn es geht) nicht hoch-komplexe Mathematik sein, da ich diese gerne auf einem Mikrochip laufen lassen möchte. Der Mittelpunkt bei der oberen Darstellung müsste irgendwo bei (x, y) → (2, 1.5) liegen.

Answer 1

Aloha :)

Erstmal die Formel für den "Mittelpunkt" $(x_s,y_s)$, dann die Erklärungen dazu:$$\binom{x_s}{y_s}=\frac{1}{T}\sum\limits_{x=1}^4\sum\limits_{y=1}^4t_{xy}\binom{x}{y}\quad;\quad T=\sum\limits_{x=1}^4\sum\limits_{y=1}^4t_{xy}$$Zur Bestimmung der Gesamttemperatur $T$ laufen wir einmal durch die ganze Matrix und addieren die Temperaturen in den einzelnen Feldern $(x,y)$. Zur Bestimmung des "Mittelpunktes" $(x_s,y_s)$ gewichten wir jedes Feld $(x,y)$ mit der Temperatur $t_{xy}$ an dieser Position. Anschließend addieren wir alle Positionen und "normieren" noch, indem wir durch $T$ dividieren. Das kannst du alles in einem Schleifendurchlauf erledigen.

Zur Veranschaulichung führe ich das mal an deinem Beispiel vor:

$$\begin{array}{c}0 & \frac{3}{4} & 1 & \frac{1}{4}\\\frac{1}{4} & 1 & \frac{3}{4} & 0\\0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 0\\0 & \frac{1}{4} & 0 & 0\end{array}$$Die Summe über alle Temperaturen $t_{xy}$ ist $T=5$. Wir fügen die Positionen hinzu:$$\begin{array}{c}0\cdot\binom{1}{1} & \frac{3}{4}\cdot\binom{2}{1} & 1\cdot\binom{3}{1} & \frac{1}{4}\cdot\binom{4}{1}\\\frac{1}{4}\cdot\binom{1}{2} & 1\cdot\binom{2}{2} & \frac{3}{4}\cdot\binom{3}{2} & 0\cdot\binom{4}{2}\\0\cdot\binom{1}{3} & \frac{1}{2}\cdot\binom{2}{3} & \frac{1}{4}\cdot\binom{3}{3} & 0\cdot\binom{4}{3}\\0\cdot\binom{1}{4} & \frac{1}{4}\cdot\binom{2}{4} & 0\cdot\binom{3}{4} & 0\cdot\binom{4}{4}\end{array}$$und führen die Gewichtung durch:$$\begin{array}{c}\binom{0}{0} & \binom{1,5}{0,75} & \binom{3}{1} & \binom{1}{0,25}\\\binom{0,25}{0,5} & \binom{2}{2} & \binom{2,25}{1,5} & \binom{0}{0}\\\binom{0}{0} & \binom{1}{1,5} & \binom{0,75}{0,75} & \binom{0}{0}\\\binom{0}{0} & \binom{0,5}{1} & \binom{0}{0} & \binom{0}{0}\end{array}$$Nun können wir alle Vektoren addieren, d.h. alle x-Werte und alle y-Werte zusammenfassen. Hier kommt $\binom{12,25}{9,25}$ heraus. Schließlich muss noch durch $T=5$ dividiert werden:$$\binom{x_s}{y_s}=\binom{2,45}{1,85}$$

Comments

Vielen Dank für die anschauliche Erklärung! Genau das habe ich gesucht :)

Answer 2

([1, 1]·0 + [2, 1]·0.75 + [3, 1]·1 + [4, 1]·0.25 + [1, 2]·0.25 + [2, 2]·1 + [3, 2]·0.75 + [4, 2]·0 + [1, 3]·0 + [2, 3]·0.5 + [3, 3]·0.25 + [4, 3]·0 + [1, 4]·0 + [2, 4]·0.25 + [3, 4]·0 + [4, 4]·0)/(0 + 0.75 + 1 + 0.25 + 0.25 + 1 + 0.75 + 0 + 0 + 0.5 + 0.25 + 0 + 0 + 0.25 + 0 + 0) = [2.45, 1.85]