Beweisen von Bsp. Sind A, B ∈ n×n regulär, so haben AB und BA dieselben Eigenwerte.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

a) Ist λ ∈ ein Eigenwert der regulären Matrix A ∈ n×n, so gilt λ ≠ 0 und λ^(−1) ist ein Eigenwert derMatrix A^(−1).

b) Sind A, B ∈ n×n regulär, so haben AB und BA dieselben Eigenwerte.

c) Ist λ ∈ ein Eigenwert von A ∈ n×n, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl λ ein Eigenwert von A.

Problem/Ansatz:

Komme nicht auf die Lösung.

Comments

Beweisen Sie die folgenden Aussagen: 

Ist keine sinnvolle Überschrift für diese Frage

Der alleinige Tag:

Aussagenlogik

ist ebenfalls nicht sinnvoll.

Answer 1

Ist λ ∈ ℝ  ein Eigenwert der regulären Matrix A ∈ n×n, so gilt λ ≠ 0 und λ^(−1) ist ein Eigenwert der Matrix A^(−1).

A regulär ==>  Jeder Eigenwert ist ungleich 0;

denn wäre 0 ein Eigenwert, dann gäbe es ein v≠0 mit A*v = 0

==>  v ∈ Kern(A) ==>   dim Kern (A) > 0 .  Widerspruch zu : "A regulär".

und:   λ ∈ ℝ  ein Eigenwert der regulären Matrix A

 ==>   Es gibt  ein v≠0 mit A*v = λ*v    | * A^(-1)

==>         A^(-1) *  A*v =  A^(-1) *  (λ*v)

==>                      E*v =  λ *  ( A^(-1) *v)

==>                          v =  λ *  ( A^(-1) *v)   |  * 1/ λ   (geht wegen  λ ≠0 (s.o.))

==>                         ( 1/λ )* v =    A^(-1) *v

==>     ( 1/λ ) ist Eigenwert für    A^(-1)  , sogar mit den gleichen Eigenvektoren.

b)    Sind A, B ∈ n×n regulär, so haben AB und BA dieselben Eigenwerte.

Sei x Eigenwert von AB,. dann gibt es v≠0 mit A*B*v = x*v

wegen "regulär" existieren A^(-1) und B^(-1) , also folgt

                                 A^(-1) *A*B*v = A^(-1)*(x*v)  =x*(A^(-1)*v)

 ==>                              B * v = x*(A^(-1)*v)     | * A

 ==>                              (B * v)*A = (x*(A^(-1)*v) )*A

 ==>                              B *A* v = x*(A^(-1)*v) *A = x*(A^(-1)*A*v) = x*v

Also ist x auch Eigenwert für B*A.

umgekehrt entsprechend.

Comments

B * v = x*(A^(-1)*v)    | * A
==>  (B * v)*A = (x*(A^(-1)*v) )*A

Welch wahrlich seltsame Produkte entstehen hier !

Answer 2

Bei (b) verwende BA-λE = B·(AB-λE)·B^-1, sowie det(S·T) = det(S)·det(T).