Ist λ ∈ ℝ ein Eigenwert der regulären Matrix A ∈ n×n, so gilt λ ≠ 0 und λ^(−1) ist ein Eigenwert der Matrix A^(−1).
A regulär ==> Jeder Eigenwert ist ungleich 0;
denn wäre 0 ein Eigenwert, dann gäbe es ein v≠0 mit A*v = 0
==> v ∈ Kern(A) ==> dim Kern (A) > 0 . Widerspruch zu : "A regulär".
und: λ ∈ ℝ ein Eigenwert der regulären Matrix A
==> Es gibt ein v≠0 mit A*v = λ*v | * A^(-1)
==> A^(-1) * A*v = A^(-1) * (λ*v)
==> E*v = λ * ( A^(-1) *v)
==> v = λ * ( A^(-1) *v) | * 1/ λ (geht wegen λ ≠0 (s.o.))
==> ( 1/λ )* v = A^(-1) *v
==> ( 1/λ ) ist Eigenwert für A^(-1) , sogar mit den gleichen Eigenvektoren.
b) Sind A, B ∈ n×n regulär, so haben AB und BA dieselben Eigenwerte.
Sei x Eigenwert von AB,. dann gibt es v≠0 mit A*B*v = x*v
wegen "regulär" existieren A^(-1) und B^(-1) , also folgt
A^(-1) *A*B*v = A^(-1)*(x*v) =x*(A^(-1)*v)
==> B * v = x*(A^(-1)*v) | * A
==> (B * v)*A = (x*(A^(-1)*v) )*A
==> B *A* v = x*(A^(-1)*v) *A = x*(A^(-1)*A*v) = x*v
Also ist x auch Eigenwert für B*A.
umgekehrt entsprechend.
