^∞∑n=1 (-2/3)n cos 2nπ/3 . Unendliche Summe berechnen.

Question

Wie wird diese Aufgabe gelöst? Warum muß man welche rechenschritte machen

 

^∞∑_n=1(-2/3)ⁿ cos 2nπ/3

Comments

Du solltest jetzt auch noch nennen, was die Aufgabe ist.

Answer 1

hi! ^^  :-)

gucken wir uns erstmal den term cos(2nπ/3) an.
der liefert die werte 1, wenn n durch 3 teilbar ist,
sonst -1/2. daraus folgt, dass wir die
reihe ∞∑_n=1(-2/3)ⁿ cos 2nπ/3 schreiben können als
$$\left(-\frac{2}{3}\right)^1\left(-\frac{1}{2} \right) + \left(-\frac{2}{3}\right)^2\left(-\frac{1}{2} \right) + \left(-\frac{2}{3}\right)^3 + \left(-\frac{2}{3}\right)^4\left(-\frac{1}{2} \right) + \left(-\frac{2}{3}\right)^5\left(-\frac{1}{2} \right) + \left(-\frac{2}{3}\right)^6 + \left(-\frac{2}{3}\right)^7\left(-\frac{1}{2} \right) + ... \\$$

es lassen sich einige regelmäßigkeiten entdecken.
$$$$
1)
ist der exponent ungerade und nicht durch 3 teilbar,
entsteht eine teilreihe mit positiven summanden.
$$\left(\frac{2}{3}\right)^1\left(\frac{1}{2} \right) + \left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{1}{2} \right) + \left(\frac{2}{3}\right)^7\left(\frac{1}{2} \right) + \left(\frac{2}{3}\right)^{11}\left(\frac{1}{2} \right) + \left(\frac{2}{3}\right)^{13}\left(\frac{1}{2} \right) + ... \\$$
diese teilreihe lässt sich in zwei geometrische reihen aufteilen
$$\left(\frac{2}{3}\right)^1\left(\frac{1}{2} \right) + \left(\frac{2}{3}\right)^7\left(\frac{1}{2} \right) + \left(\frac{2}{3}\right)^{13}\left(\frac{1}{2} \right) + ... = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n+1} \\ \left(\frac{2}{3}\right)^5\left(\frac{1}{2} \right) + \left(\frac{2}{3}\right)^{11}\left(\frac{1}{2} \right) + \left(\frac{2}{3}\right)^{17}\left(\frac{1}{2} \right) + ... =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-1} \\$$

2)
ist der exponent gerade und nicht durch 3 teilbar, entsteht
eine teilreihe mit negativen summanden
$$-\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{2} \right) - \left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{2} \right) - \left(\frac{2}{3}\right)^8\left(\frac{1}{2} \right) - \left(\frac{2}{3}\right)^{10}\left(\frac{1}{2} \right) - \left(\frac{2}{3}\right)^{14}\left(\frac{1}{2} \right) - \left(\frac{2}{3}\right)^{16}\left(\frac{1}{2} \right) -$$
die lässt sich auch als zwei geometrische reihen schreiben
$$-\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{2} \right) - \left(\frac{2}{3}\right)^8\left(\frac{1}{2} \right) \\ - \left(\frac{2}{3}\right)^{14}\left(\frac{1}{2} \right) - ... = \left(-\frac{1}{2} \right)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-4} \\\\ \left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{2} \right) - \left(\frac{2}{3}\right)^{10}\left(\frac{1}{2} \right) - \left(\frac{2}{3}\right)^{16}\left(\frac{1}{2} \right) - ... = \left(-\frac{1}{2} \right)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-2}$$
3)
übrig bleiben die summenglieder, in denen durch 3 teilbare exponenten
vorkommen. auch hier lassen sich zwei geometrische reihen erkennen
$$-\left(\frac{2}{3}\right)^3 - \left(\frac{2}{3}\right)^9 - \left(\frac{2}{3}\right)^{15} - ... = -\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-3}\\ \left(\frac{2}{3}\right)^6 + \left(\frac{2}{3}\right)^{12} + \left(\frac{2}{3}\right)^{18} + ... = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n}\\$$

die gegebene reihe lässt sich in 6 unendlichen geometrischen reihen aufteilen, deren
summen sich berechnen lassen.
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left( \left(-\frac{2}{3} \right)^n \cos \left(\frac{2\pi n}{3} \right) \right) = \\ \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n+1} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-1} - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-4} \\ - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n-3} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{6n} = \\ \frac{243}{665} + \frac{48}{665} - \frac{162}{665} - \frac{72}{665} + \frac{216}{665} + \frac{64}{665} = - \frac{1}{7} \\$$

gruß
    gorgar