Komplexe Zahlen, Gaußschen Zahlenebene

Question

Gegeben ist die komplexe Zahl z = 1/2( (Wurzel 3) +i)

1.Bestimmen Sie z_n =zⁿ und |zⁿ| für { n∈N₀ | n≤12 }
2. Stellen Sie die Zahlen z_n in der Gaußschen Zahlenebene dar.
c) Welche Zahlen erhalten Sie für n > 12?

Was ändert sich, wenn anstelle von z die Zahlen x = 5/4z oder y = 3/4z betrachtet werden.

Kann mir jemand diese Aufgabe erklären? Ich fange jetzt  mit Thema Komplexe Zahlen an und verstehe es nicht so gut

Vielen Dank! :)

Answer 1

Aloha :)

Für den Betrag von \(z=\frac{1}{2}\left(\sqrt3+i\right)=\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}\) gilt:$$|z|^2=\sqrt{Re^2(z)+Im^2(z)}\quad\Rightarrow\quad|z|^2=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$$Da also \(|z|=1\) gilt, können wir \(z\) als reine \(e\)-Funktion in Polardarstellung schreiben:$$z=\left(\underbrace{\frac{\sqrt3}{2}}_{=\cos\frac{\pi}{6}}+i\cdot\underbrace{\frac{1}{2}}_{=\sin\frac{\pi}{6}}\right)=e^{i\pi/6}\;\Rightarrow\;\boxed{z^n=e^{i\,n\pi/6}=\cos\left(\frac{n\pi}{6}\right)+i\,\sin\left(\frac{n\pi}{6}\right)}$$Das kannst du jetzt relativ leicht zeichnen. Ich hingegen kann das am Rechner nicht so gut, ich bin mit den passenden Programmen zu ungeübt. Deswegen überlasse ich das dir ;)

Bei \(n=12\) ist das Argument der Winkelfunktionen gleich \(2\pi\). Das heißt, die Ergebnisse wiederholen sich nun:$$z^{n+12}=\left(e^{i\pi/6}\right)^{n+12}=\left(e^{i\pi/6}\right)^{n}\left(e^{i\pi/6}\right)^{12}=e^{i\,n\pi/6}\underbrace{e^{i\,2\pi}}_{=1}=z^n\;\Rightarrow\;\boxed{z^{n+12}=z^n}$$Für \(x=\frac{5}{4}z\) bzw. \(y=\frac{3}{4}z\) erhalten wir:

$$x^n=\left(\frac{5}{4}z\right)^n=\left(\frac{5}{4}\right)^n\,e^{i\,n\pi/6}\quad;\quad y^n=\left(\frac{3}{4}z\right)^n=\left(\frac{3}{4}\right)^n\,e^{i\,n\pi/6}$$Aber durch den Vorfaktor geht nun die 12-er Periode verloren, d.h. \(x^{n+12}\ne x^n\) und \(y^{n+12}\ne y^n\).

Answer 2

Kann mir jemand diese Aufgabe erklären?

Ja. Von dir wird verlangt, z² auszurechnen. Das tust du, indem du

1/2( (Wurzel 3) +i) * 1/2( (Wurzel 3) +i) rechnest.

Ich gehen davon aus, dass dir die Multiplikation zweier komplexer Zahlen beigebracht wurde.

Dann  sollst du z³ berechen. Das tust du, indem du dein Ergebnis von z² mit 1/2( (Wurzel 3) +i) multiplizierst.

Ich gehen davon aus, dass dir die Multiplikation zweier komplexer Zahlen beigebracht wurde.

Dann  sollst du z⁴ berechen. Das tust du, indem du dein Ergebnis von z³ mit 1/2( (Wurzel 3) +i) multiplizierst.
Ich gehen davon aus, dass dir die Multiplikation zweier komplexer Zahlen beigebracht wurde.

Dann ...

Ja, ich weiß, das klingt nach Arbeit. Aber es ist Arbeit, die sich lohnt, um Erkenntnisse zu gewinnen.

(Und schließlich darfst du zunächst beim Exponenten 12 aufhören.)