Zeigen, dass Reihen absolut konvergieren

Question

Dass die erste Reihe absolut konvergiert, lässt sich gut mit dem Quotientenkriterium zeigen; habt ihr eine Idee, wie man das bei der zweiten am besten anstellt?

Zeigen Sie, dass folgende Reihen absolut konvergieren:

\(\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n !)^{2}}{(2 n) !}\),

\(\quad \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{n^{2}}(\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1})^{n}\)

Answer 1

Wie du bereits gesagt hast, die erste Reihe ist "trivial" mit dem Quotientenkriterium zu lösen.

Bei der zweiten kannst du erstmal das \((-1)^n\) weglassen, da uns nur absolute Konvergenz interessiert. Falls du erstmal normale Konvergenz haben möchtest, dann erledigt das das Leibnizkriterium. Die normale Konvergenz bekommst dua llerdings gleich aus der absoluten Konvergenz "geschenkt".

Der letzte Faktor ist das interessante, es gilt nämlich \(n^2 + n < (n+1)^2\) und \(n^2 + 1 > n^2\), damit ist der rechte Faktor automatisch \(<1\). Deine ganze Reihe wird also dominiert von \(\sum \frac{1}{n^2}\) und konvergiert nach dem Majorantenkriterium.

Ich habe leider gerade nicht viel Zeit, deshalb bin ich nicht so ausführlich. Bekommst du es mit diesen Informationen selbst hin oder soll ich noch etwas ins Detail gehen?

Comments

Ahhh, oh Mann, das hätte mir echt selbst auffallen müssen! Vielen Daaank!!!!!

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Mir fällt gerade eine Sache auf: Da steht kein \((-1)^n\) sondern ein \((-2)^n\), ich habe mich da verlesen, das macht die ganze Sache etwas schwieriger! Du musst jetzt also zeigen, dass der rechte Faktor nicht nur \(<1\) ist, sondern ab einem bestimmten Punkt \(<0.5\) (was aber aus sehr ähnlichen Überlegungen wie oben gilt). Dann kürzt der Faktor das \(2^n\) weg und du bekommst die Abschätzung wieder für \(\sum \frac{1}{n^2}\).

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Ahh, ja stimmt, habs jetzt geschafft, und dank dir habe ich jetzt auch eine Idee für eine allgemeine Herangehensweise, von daher: !! :)