Zeichne folgende Menge in die Gaussche Zahlenebene ein: Betrag(z-1+i)=Betrag(z-3-5i)

Question

ich bräuchte mal eure Hilfe.

Ich versuche gerade ein paar Mengen in die Gaussche Zahlenebene einzuzeichnen. Bei der Menge hier hänge ich aber. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Betrag(z-1+i)=Betrag(z-3-5i)

Ich wäre über eine Antwort sehr dankbar.

Answer 1

Aloha :)

Sei \(z:=x+iy\) mit \(x,y\in\mathbb{R}\). Dann lautet die Forderung:

$$|x+iy-1+i|=|x+iy-3-5i|$$$$|(x-1)+i(y+1)|=|(x-3)+i(y-5)|$$$$\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2}=\sqrt{(x-3)^2+(y-5)^2}$$$$(x-1)^2+(y+1)^2=(x-3)^2+(y-5)^2$$$$(y+1)^2-(y-5)^2=(x-3)^2-(x-1)^2$$$$(y^2+2y+1)-(y^2-10y+25)=(x^2-6x+9)-(x^2-2x+1)$$$$12y-24=-4x+8$$$$12y=-4x+32$$$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}$$

~plot~ -1/3*x+8/3 ; [[-5|5|0|5]] ~plot~

Answer 2

Hallo,

|(z-1+i)|=|(z-3-5i)|

eine Möglichkeit: z= x +iy

|x +iy -1+i| = x +iy -3-5i|

|x -1 +i(y+1)| = x -3 +i(y-5||

√(x-1)^2 +(y+1)^2 = √ (x-3)^2 + (y-5)^2 | (..)

(x-1)^2 +(y+1)^2 =  (x-3)^2 + (y-5)^2

usw.

Answer 3

Hallo Maxi,

bestimme die beiden Zahlen \(p\) und \(q\) in $$|z-p| = |z-q|$$Also in Deinem Fall$$|z-(1-i)|=|z-(3+5i)|  \quad \implies p=1-i, \space q=3+5i$$Dann bilde das arithmetische Mittel \(m\) und die Differenz \(n\) $$m = \frac 12(1-i + 3+5i) = 2 + 2i \\ n = 3+5i - (1-i) = 2 + 6i \to 1+3i$$wobei es bei der Differenz nur auf die Richtung ankommt, Du kannst also wie hier noch durch \(2\) dividieren, um möglichst kleine Zahlen zu erhalten. Dann erhältst Du schon die Lösung aus dem 'Skalarprodukt' $$\left< n, z \right> = \left< n, m \right> $$ mit der Definition $$\left< a+bi, x + yi\right> = a\cdot x + b \cdot y$$Also in Deinem Fall$$\begin{aligned} \left< 1+3i, z \right> &= \left< 1+3i, 2 + 2i \right> \\ x + 3y &= 8, \quad z = x+yi \end{aligned}$$Diese Lösung beruht auf der Idee, dass jeder Wert \(z\), für den diese Betragsgleichung gilt, auf der Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecke von \(p\) und \(q\) liegt.

Diese Mittelsenkrechte (schwarze Strich-Punkt-Linie) ist dann die Menge aller Punkte in der Gauß'schen Zahlenebene, für die die Gleichung erfüllt ist. Wenn Du es nur zeichnen sollst, brauchst Du so nicht mal zu rechnen ;-)