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Aufgabe:

Sei die lineare Abbildung f : Q3Q3,(x1x2x3)(2x1x3x23x12x3) f: \mathbb{Q^3} \to \mathbb{Q^3}, \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 2x_1 - x_3\\ x_2 \\3x_1 - 2x_3 \end{pmatrix} gegeben.

Zeigen Sie, dass U={xQ3  f(x)=x} U = \lbrace{ x \in \mathbb{Q^3} \ | \ f(x) = - x \rbrace} ein Unterraum von Q3\mathbb{Q^3} ist.

Ich möchte nur eine kleine Kontrolle.

Beweis:

Offensichtlich gilt UQ3 U \subseteq \mathbb{Q^3}

Weiter ist U U \neq \emptyset , da f((000))=(000)=(000)(000)U f\left(\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \Longrightarrow \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \in U

i) Zu zeigen: x,yU : x+yU \forall x,y \in U: x + y \in U

Seien x=(xyz)U,y=(abc)U x = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in U, \, y = \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \in U  beliebig. Dann gilt:

f(x+y)=f(x)+f(y)=(xyz)+(abc)=(x+ay+bz+c)=(x+y)x+yU f( x + y) = f(x) + f(y) = \begin{pmatrix} -x\\-y\\-z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a\\-b\\-c \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} x + a\\y + b\\z + c \end{pmatrix} = -(x + y) \Longrightarrow x + y \in U

ii) Zu zeigen: xU,αQ : αxU \forall x\in U, \forall \alpha \in \mathbb{Q}: \alpha \cdot x \in U

Seien x=(xyz)U,αQ x = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in U, \alpha \in \mathbb{Q}  beliebig. Dann gilt:

f(αx)=αf(xyz)=α(xyz)=(αxαyαz)=(αx)αxU f( \alpha \cdot x) = \alpha \cdot f \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \alpha \cdot \begin{pmatrix} -x\\-y\\-z \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} \alpha x\\\alpha y\\\alpha z \end{pmatrix} = -(\alpha \cdot x) \Longrightarrow \alpha \cdot x \in U

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Passt.

Falls ihr schon Eigenwerte und Eigenvektoren besprochen habt könntest du auch sagen, dass Eig(f,1)=U \operatorname{Eig}(f,-1) = U . Man zeigt da nämlich meist, dass Eig(f,λ) : ={vVf(v)=λv} \operatorname{Eig}(f,\lambda) := \{ v \in V | f(v)=\lambda v \} für alle λ \lambda ein UVR ist.

Avatar von 6,0 k

Eigenwerte und Eigenverktoren wurden noch nicht behandelt. Danke für deine Antwort.

Ich habe immer das Gefühl, dass ich für solche "stumpfen" Rechenaufgaben zuviel Zeit verschwende, weil ich alle Bedingungen usw. aufschreibe. In Musterlösungen wird für so eine Aufgabe teilweise nur eine Zeile verwendet.

Du kannst auch beide Schritte auf einmal zeigen, indem du direkt αx+yU \alpha x + y \in U statt αxU und x+yU \alpha x \in U \text{ und } x+y \in U zeigst, das macht den Beweis auch noch etwas kompakter und spart 1,2 Zeilen.

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