Aufgabe:
Sei die lineare Abbildung f : Q3→Q3,⎝⎛x1x2x3⎠⎞↦⎝⎛2x1−x3x23x1−2x3⎠⎞ gegeben.
Zeigen Sie, dass U={x∈Q3 ∣ f(x)=−x} ein Unterraum von Q3 ist.
Ich möchte nur eine kleine Kontrolle.
Beweis:
Offensichtlich gilt U⊆Q3
Weiter ist U=∅, da f⎝⎛⎝⎛000⎠⎞⎠⎞=⎝⎛000⎠⎞=−⎝⎛000⎠⎞⟹⎝⎛000⎠⎞∈U
i) Zu zeigen: ∀x,y∈U : x+y∈U
Seien x=⎝⎛xyz⎠⎞∈U,y=⎝⎛abc⎠⎞∈U beliebig. Dann gilt:
f(x+y)=f(x)+f(y)=⎝⎛−x−y−z⎠⎞+⎝⎛−a−b−c⎠⎞=−⎝⎛x+ay+bz+c⎠⎞=−(x+y)⟹x+y∈U
ii) Zu zeigen: ∀x∈U,∀α∈Q : α⋅x∈U
Seien x=⎝⎛xyz⎠⎞∈U,α∈Q beliebig. Dann gilt:
f(α⋅x)=α⋅f⎝⎛xyz⎠⎞=α⋅⎝⎛−x−y−z⎠⎞=−⎝⎛αxαyαz⎠⎞=−(α⋅x)⟹α⋅x∈U