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. 6|a⇔a|2 und a|3. Beweise mit PFZ.

Ich überlege schon die ganze Zeit und komme einfach nicht darauf wie das gehen soll.

Klar, die PFZ von 6=2*3, und und a ist in der Teilermenge von 6 enthalten. Ich weiß nur nicht wie ich mit meinen Informationen zu einem Beweis (beidseitig) kommen soll..


Hat jemand Ideen oder weiß schon wie man ihn führen muss, wäre wirklich sehr dankbar.

von

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Aloha :)

Die Aussage in der Überschrift ist falsch. Daher kann man sie nicht beweisen. Richtig ist hingegen:$$6|a\quad\Leftrightarrow\quad 2|a\;\;\land\;\;3|a$$Das kann man wie folgt beweisen:

Hinrichtung (\(\Rightarrow\)):

\(6|a\) bedeutet, es gibt ein \(z\in\mathbb{Z}\), sodass \(\frac{a}{6}=z\) gilt. Das heißt:$$z=\frac{a}{6}=\frac{a}{2\cdot3}\quad\Rightarrow\quad\frac{a}{2}=3z\in\mathbb{Z}\;\;\land\;\;\frac{a}{3}=2z\in\mathbb{Z}\quad\Rightarrow\quad 2|a\;\;\land\;\;3|a$$

Rückrichtung (\(\Leftarrow\)):

\(2|a\) bedeutet, es gibt ein \(z_1\in\mathbb{Z}\), sodass \(\frac{a}{2}=z_1\) gilt. \(3|a\) bedeutet, es gibt ein \(z_2\in\mathbb{Z}\), sodass \(\frac{a}{3}=z_2\) gilt. Das bedeutet:$$\frac{a}{6}=\frac{3a-2a}{6}=\frac{3a}{6}-\frac{2a}{6}=\frac{a}{2}-\frac{a}{3}=z_1-z_2\in\mathbb{Z}\quad\Rightarrow\quad 6|a$$

von 27 k

Danke, so macht der Beweis wieder Sinn. Ich denke mal das war dann ein Fehler auf dem Arbeitsblatt.

Ich persönlich hätte es mit Transitivität bewiesen, aber so geht es auch :)

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6|a⇔a|2 und a|3

Die Aussage ist falsch.

Gegenbeispiel: a=6 (oder a=12 oder ...)

6 ist ein Teiler von 6 (linke Seite richtig), aber 6 ist weder von 2 noch von 3 ein Teiler.

von 3,2 k

das dachte ich mir auch, aber dann wurde eventuell ein Fehler in die Aufgabe gebaut. Aber eigentlich müsste es richtig sein und ich komme nicht drauf..

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