Basis vom Kern und Lösungsmenge berechnen

Question

Sei

A = $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & -2 \\ -2 & -3 & -1 & 8 \\ 1 & 4 & 8 & 8 \\ 2 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix}$  und b = $\begin{pmatrix} 1\\-1\\4\\4 \end{pmatrix}$

a) Berechnen Sie eine Basis von Kern und Bild von A.

b) Berechnen Sie die Lösungsmenge L(A, b) ⊂ ℚ⁴ des inhomogenen linearen Gleichungssystems A · x = b für x ∈ ℚ⁴.

Kann diese Aufgabe jemand lösen?

Answer 1

Hallo

 sicher kann das jemand, aber es ist ja deine Aufgabe. Für den Kern berechnest du A*x=0 für das Bild z.B die Bilder der Basisvektoren.

einfach brav mit Gauss rechnen, wenn du zu faul bist einen Matrixrechner im Netz benutzen z. B, https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm

Gruss lul

Answer 2

$\small A x=0 ⇒ A_{Gauss} \,x =0 ⇒ \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&-4&0\\0&1&3&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\\end{array}\right) x \,=0 ⇒ Basis_{Kern} \, := \, \left(\begin{array}{r}4\\-3\\1\\0\\\end{array}\right)$

$\small Pivots \, := \, \left\{ 1, 2, 4 \right\} ⇒ Basis_{img} \, := \, \left(\begin{array}{rrr}1&2&-2\\-2&-3&8\\1&4&8\\2&5&2\\\end{array}\right)$

Mit (A,b)

$\small A_{Gauss} \, = \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&-4&0&4\\0&1&3&0&-1\\0&0&0&1&\frac{1}{2}\\0&0&0&0&0\\\end{array}\right)$

$\small \left\{ \left\{ x1 = 4 \; x3 + 4, x2 = -3 \; x3 - 1, x3 = x3, x4 = \frac{1}{2} \right\} \right\}$

Comments

Hallo wächter,

die 1., 2. und 4. Spalte von A wäre auch eine Basis des Bilds, richtig?

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Yep, die "Standardbasis" wird dort abgegriffen, wo in der Treppenstufenform die Pivotelemente stehen, also die Einheitsvektoren.

Ich hab mich auch oben verkopiert, das Latex ist doch etwas unübersichtlich. Ich stelle das richtig, wenn ich den richtigen Latex beisammen habe...