Zeigen Sie: Die Menge A = {q ∈ Q : q ≤ α}

Question

Sei nun α ∈ R \ Q.
Zeigen Sie: Die Menge A = {q ∈ Q : q ≤ α} hat kein Supremum in Q

Könnte einer so nett sein und mir helfen?

Comments

Hallo

 benutze eure Definition von r,

Gruß lul

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Was soll r sein?

Answer 1

Der "offensichtliche" Weg ist, die Eigenschaften von $\mathbb{R}$ zu nutzen, nämlich dass Suprema eindeutig sind. In diesem Fall ist es leicht zu sehen, dass $\alpha$ das Supremum von $A$ ist, dieses ist eindeutig und irrational, damit wäre man fertig. Daraus lernt man aber nicht viel, deshalb mach ichs per Hand und zeige, dass ein Supremum von $A$ nicht rational sein kann.

Kurze Wiederholung der Definition von Suprema: Eine Zahl $x$ heißt Supremum einer Menge $M$, wenn folgende zwei Eigenschaften gelten

1. $x$ ist obere Schranke von $M$: Für alle $m\in M$ gilt $m\leq x$.

2. Es existiert keine kleinere obere Schranke: Für alle $y<x$ existiert ein $m\in M$, sodass $y < m$.

Zum Beweis, dass eine rationale Zahl kein Supremum von $A$ sein kann:

Fall 1: $x < \alpha$, dann gilt $x\in A$. Dann existiert eine rationale Zahl $q$ mit $x<q<\alpha$ [Falls dieser Schritt nicht klar ist, hier ausführlich: Wähle $q=x+\frac{1}{n}$, wobei $\frac{1}{n}<|x-\alpha|$, die Existenz solch eines $n$ ist quasi genau das archimedische Axiom]. Dann gilt aber $x<q$ und $q\in A$, also ist $x$ keine obere Schranke, was Bedingung 1 verletzt.

Fall 2: $x > \alpha$. Wähle analog zu oben ein $q\in \mathbb{Q}$ mit $\alpha<q<x$. Da $\alpha < q$ gilt, gilt insbesondere $a<q$ für alle $a\in A$. Also existiert eine Zahl, die kleiner als $x$ ist und obere Schranke von $A$ ist, was Bedingung 2 verletzt.

Answer 2

Hallo,

offensichtlich ist $A \subset \mathbb{R}$ nichtleer und nach oben beschränkt durch $\alpha$ nach Konstruktion. Angenommen $\alpha$ sei das Supremum von $A$ in $\mathbb{Q}$. Also gibt es eine Folge $(q_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq A$, sodass $q_n \to \alpha \in \mathbb{R}$ für $n \to \infty$. Dann gibt es zu jedem $\beta < \alpha$ ein $n_0 \in \mathbb{N}$, sodass für $n \geq n_0$:

$|\alpha-x_n| < \alpha - \beta$

$\Rightarrow \beta < x_n$.

Also ist $\beta$ keine obere Schranke von $A$, folglich $\alpha \in A$. Dies ist jedoch ein Widerspruch. $\square$

Comments

Die Annahme, dass $\alpha$ das Supremum von $A$ in $\mathbb{Q}$ ist, widerspricht der Voraussetzung $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.

Aus dieser Annahme, $\alpha \in \mathbb{Q}$, ließe sich direkt der Widerspruch zur Voraussetzung $\alpha \not\in \mathbb{Q}$ folgern.