Kommutator mit Produktregel

Question

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Ich hätte eine kurze Frage zu der Produktregel und zwar Hier muss man den Kommutator berechnen:

1) \( \left[\frac{d}{d x}, x^{2}\right] \)

2) \( \left[\hat{x}, \hat{p}_{x}^{2}\right] \)

Laut Musterlösung kommt bei der 1) das raus

\( 2 x+x^{2} \frac{d}{d x}-x^{2} \frac{d}{d x}=2 x \)
Also der zweite Bruch bei der Poduktregel hat ein anderes Vorzeichen aber wenn ich das mache, dass der zweite Bruch ein anderes Vorzeichen hat als der erste kommt bei dem zweiten Kommutator \( \hbar^{2} \frac{d}{d x} \) - \( \hbar^{2} \frac{d}{d x} \) also 0 raus und nicht \( 2 \hbar^{2} \frac{d}{d x} \) wie es in der Musterlösung steht! also scheinbar hatten hier die 2 Brüche das gleiche Vorzeichen, sodass man die miteinander summieren kann!?

 verstehe ich irgendwas falsch? und wie ist die Produktregel genau? hat der zweite Bruch ein anderes Vorzeichen oder das gleiche?

Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Hallo,

zu 1):

man berechnet den Kommutator, indem man ihn auf eine beliebige Wellenfunktion anwendet. Ich schreibe anstatt d/dx kurz D.

[D,x^2]f = Dx^2 f -x^2 Df

=2xf + x^2 (Df) - x^2 (Df)

=2xf

---> [D,x^2]=2x

zu 2): hier kannst du die Produktregel verwenden:

[x,p_x ^2] =[x,p_x]p_x +p_x[x,p_x]

= ih_quer * p_x +ih_quer *p_x

=2i h_quer p_x

Comments

Hi

Danke für deine Antwort!

Ich verstehe aber ehrlich gesagt nicht, warum die Funktion bei dem ersten kommutator in den Exponenten kommt?

Danke

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Das war ein Fehler des Editors , das f steht nicht im Exponenten.

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Vielen Dank!