Problem mit dem Ablesen der geometrischen und algebraischen Vielfachheit von Eigenwerten

Question

Ich bin gerade daran die algebraische und geometrische Vielfachheit von einem EW einer Matrix anzugeben.

Die Aufgabe verlangt, dass ich dies ohne Berechnung des charakteristischen Polynom machen soll. Gegeben ist, der EW = -3. Die geometrische Vielfachheit habe ich mittels der Bestimmung des Eigenraums von EW = -3 bestimmt.

Jetzt scheitert es bei mir gerade daran die algebraische Vielfachheit davon abzulesen.

Auch frage ich mich, ob man EW auch von einer Matrix ablesen kann, da die Aufgabe von mir verlangt die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte zu bestimmen.

Also meine Frage: Lassen sich EW, geometrische Vielfachheiten und algebraische Vielfachheiten der Eigenwerte ablesen oder verstehe ich die Aufgabe nicht

$A=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {-10} & {8} \\ {2} & {-8} & {4} \\ {2} & {-5} & {1}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$

Comments

Mit ein bisschen Übung sieht man, dass die Spalten linear abhängig sind. Somit ist die Matrix nicht invertierbar und hat insbesondere auch einen nicht-trivialen Kern => Eigenwert 0 untersuchen

Answer 1

Aloha :)

Wenn du Spalte 3 und Spalte 2 addierst, bekommst du $(-2|-4|-4)^T$. Das ist das $(-2)$-fache von Spalte 1. Daher ist die Determinante der Matrix $=0$. Die Spur der Matrix (Summe der Diagonalelemente) ist $-6$. Die Spur ist bei jeder quadratischen Matrix gleich der Summe aller Eigenwerte. Die Determinante ist gleich dem Produkt aller Eigenwerte:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-6\quad;\quad \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=0$$Du weißt bereits, dass ein Eigenwert $\lambda_1=-3$ ist.$$(-3)+\lambda_2+\lambda_3=-6\quad;\quad (-3)\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=0$$Einer der Eigenwerte muss $0$ sein, damit ihr Produkt $=0$ wird, sagen wir $\lambda_3=0$. Dann muss $\lambda_2=-3$ sein, damit ihre Summe zu $-6$ wird.

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Hi  Tschakabumba,

Vielen Dank für die Antwort, aber ich habe noch ein weiteres Problem.

Die geometrische Vielfachheit konnte ich berechnen und habe für EW = -3 die geometrische Vielfachheit = 2 rausbekommen.

Jetzt verstehe ich nicht wie ich die algebraische Vielfachheit vom EW = -3 und die geometrische/algebraische Vielfachheit vom EW = 0 bestimmen soll.

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Aloha :)

Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums zu einem Eigenwert. Du musst also schauen, wie viele linear unabhängige Eigenvektoren es zu einem Eigenwert gibt.

Die algebraische Vielfachheit eine Eigenwertes $\lambda$ ist der Exponent $n$, mit dem der Faktor $(x-\lambda)^n$ in das charakteristische Polynom eingeht.

Answer 2

Für jeden Eigenwert eines Endomorphismus (also hier durch eine Matrix beschrieben) gilt der Zusammenhang

$1\leq$,,geometrische Vielfachheit'' $\leq$ ,,algebraische Vielfachheit''. Die geometrische Vielfachheit kannst du nun also anhand der Dimension deines Eigenraumes vom Eigenwert -3 ablesen. Damit kannst du also sagen, wie groß die algebraische Vielfachheit in etwa sein muss.

Weiß man sogar, dass die Matrix diagonalisierbar ist, gilt sogar für jeden Eigenwert von der Matrix ,,geometrische Vielfachheit'' $=$ ,,algebraische Vielfachheit''.

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Aber wie lässt sich diese genau bestimmen?

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Aber wie lässt sich diese genau bestimmen?

Was meinst du jetzt?