Das Rechnen mit Mengen reeller Zahlen

Question

Hallo MatheLounge Community, hier eine Aufgabe aus dem Bereich Analysis.

Für Teilmengen A, B von ℝ seien A + B, A – B und A * B gemäß
A ° B = {a ° b: a ∈ A und b ∈ B}
definiert, wobei ° für Addition, Subtraktion und Multiplikation steht.
Besteht die Menge A nur aus dem einen Element a, so schreibt man statt {a} ° B kürzer a ° B.
Es ist z. B.
2 * [3, 5] = [6, 10]
2 + [3, 5] = [5, 7]
[-1, 2] + [3, 5] = [2, 7]
sowie A ° {} = {} für alle A.
Quelle:  Wolfgang Walter, Springer-Verlag, Analysis, Band 1, 6. Auflage. 
Hier ist schon gleich anzumerken, dass die eckigen Klammern ja wohl falsch sind, und die letzte Rechnung in der Liste auch.  Meine Variante wäre
2 * {3, 5} = {6, 10}
2 + {3, 5} = {5, 7}
{-1, 2} + {3, 5} = {2, 4, 5, 7}
Man zeige, dass das Distributivgesetz
A * (B + C) = A * B + A * C
falsch, jedoch die schwächere Version
A * (B + C) ⊂ A * B + A * C
richtig ist.

Mein Ansatz:
A * (B + C) = A * B + A * C
ist falsch, z. B. für A = B = C = {1, 2}:
{1, 2} * {2, 3, 4} = {1, 2, 4} + {1, 2, 4}
{2, 3, 4, 6, 8} = {2, 3, 4, 5, 6, 8} -> Stimmt also nicht.  Ein Gegenbeispiel reicht zum Widerlegen.
Aber wie zeige ich
A * (B + C) ⊂ A * B + A * C?
Mein Ansatz:
M1 ⊂ M2 zeigen mit x ∈ M1 => … => x ∈ M2
So geht’s nicht:
x ∈ A * (B + C)
<=> x ∈ (A * {b + c: b ∈ B und c ∈ C})
<=> x ∈ {a * (b + c): a ∈ A und b ∈ B und c ∈ C}   
<=> x ∈ {a * b + a * c: a ∈ A und b ∈ B und c ∈ C}   
<=> x ∈ A * B + A * C   

So geht’s nicht.  Aber wie geht’s dann?  Vielen Dank!

Answer 1

Hier ist schon gleich anzumerken, dass die eckigen Klammern ja wohl falsch sind

Begründe das.

Meine Variante wäre
2 * {3, 5} = {6, 10}
2 + {3, 5} = {5, 7}
{-1, 2} + {3, 5} = {2, 4, 5, 7}

Das stimmt so. Was würde man denn als Ergebnis bekommen, wenn man das abgeschlossene Intervall von 3 bis 5 mit 2 multipliziert? Und wie würde man das mit den in der Mathematik üblichen Symbolen aufschreiben?

A ° {} = {}

Sei x ∈ A ° {}.

Laut Definition von A ° {} gibt es dann ein a ∈ A und ein b ∈ {}, so dass x = a ° b. Insbesondere die Existenz des b ∈ {} bereitet mir doch erhebliche Kopfzerbrechen.

So geht’s nicht:
x ∈ A * (B + C)
<=> x ∈ (A * {b + c: b ∈ B und c ∈ C})
<=> x ∈ {a * (b + c): a ∈ A und b ∈ B und c ∈ C} 
<=> x ∈ {a * b + a * c: a ∈ A und b ∈ B und c ∈ C} 
<=> x ∈ A * B + A * C

x ∈ A * (B + C)
⇔ x ∈ (A * {b + c: b ∈ B und c ∈ C})
⇔ x ∈ {a * (b + c): a ∈ A und b ∈ B und c ∈ C}
⇔ x ∈ {a * b + a * c: a ∈ A und b ∈ B und c ∈ C}
⇒ x ∈ {a' * b + a'' * c: a', a'' ∈ A und b ∈ B und c ∈ C}
⇒ x ∈ A * B + A * C

Comments

Hallo Oswald, vielen Dank für deine Erklärungen.  Stimmt, die eckigen Klammern stehen ja für Intervalle, das hatte ich nicht gecheckt.  Anfängerfehler.  :-)  Und deine Ausführungen mit a’ und a’’ sind auch plausibel.  Jetzt verstehe ich, wieso die eine Menge eine Teilmenge der anderen ist.