Prüfen Sie, ob die Matrix diagonalisierbar ist

Question

Prüfen Sie, ob die Matrix
A =$\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 5 & 4 \\ 3 & -2 & 3 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ ∈ ℝ^5×5
diagonalisierbar ist. Geben Sie ggf. eine diagonalisierende Matrix an.

Hallo Leute, ich habe letzte Woche angefangen mich mit dem Thema DIagonalisierbarkeit auseinander zu setzen. Bei der folgenden Aufgabe hänge ich jetzt leider. Könnte mir da jemand helfen? Ich habe hier mehrere solcher Matrizen gegeben. Daher wäre es super, wenn mir einer anhand des obigen Beispiels mal zeigen würde, wie das geht. Dann kann ich die anderen alleine versuchen.

Comments

Tipp zur Berechnung des charakteristischen Polynoms: Nutze die Blockstruktur der Matrix aus.$$\det(A-tI_5)=\left\vert\begin{array}{cc|ccc}2-t&-1&1&5&4\\3&-2-t&3&8&3\\\hline 0&0&1-t&0&-4\\0&0&0&2-t&3\\0&0&0&0&-1-t\end{array}\right\vert=\begin{vmatrix}2-t&-1\\3&-2-t\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}1-t&0&-4\\0&2-t&3\\0&0&-1-t\end{vmatrix}.$$

Answer 1

Die Eigenwerte

$\small \left(\begin{array}{rrrr}λ=&-1&\left(\begin{array}{rrrrr}3&-1&1&5&4\\3&-1&3&8&3\\0&0&2&0&-4\\0&0&0&3&3\\0&0&0&0&0\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\\\end{array}\right) = 0\\λ=&1&\left(\begin{array}{rrrrr}1&-1&1&5&4\\3&-3&3&8&3\\0&0&0&0&-4\\0&0&0&1&3\\0&0&0&0&-2\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\\\end{array}\right) = 0\\λ=&2&\left(\begin{array}{rrrrr}0&-1&1&5&4\\3&-4&3&8&3\\0&0&-1&0&-4\\0&0&0&0&3\\0&0&0&0&-3\\\end{array}\right)&\left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\\\end{array}\right) = 0\\\end{array}\right)$

Prüfe alg. vielfachheit = geom. vielfachheit n-rang(A-λE)

Eigenvektoren

$\small \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\x4\\x5\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}0.333 \; x2 - 0.333 \; x5&x2 - x3&4 \; x4\\x2&x2&5 \; x4\\2 \; x5&x3&0\\-x5&0&x4\\x5&0&0\\\end{array}\right)$

$\small T \, := \, \left(\begin{array}{rrrrr}0.333&-0.333&1&-1&4\\1&0&1&0&5\\0&2&0&1&0\\0&-1&0&0&1\\0&1&0&0&0\\\end{array}\right)$

Mit

D=T^-1 A T

Rechen App

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r

Answer 2

Aloha :)

Das charakteristische Polynom lautet:$$-\lambda^5+2\lambda^4+2\lambda^3-4\lambda^2-\lambda+2=0$$Es zerfällt vollständig in Linearfaktoren, was gut ist, denn sonst wäre die Matrix nicht diagonalisierbar:$$-(\lambda+1)^2(\lambda-1)^2(\lambda-2)=0$$Wir haben also 3 Eigenwerte:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=2$$Die algebraische Vielfachheit von $\lambda_1$ und $\lambda_2$ ist $2$, die von $\lambda_3$ ist $1$.Als Eigenvektoren bzw. Eigenräumen zu den Eigenwerten bekomme ich folgende.

Zum doppelten Eigenwert $\lambda_1=-1$:$$\left(\,(1|3|0|0|0)^T\,,\,(-1|0|6|-3|3)^T\,\right)$$Zum doppelten Eigenwert $\lambda_2=1$:$$\left(\,(1|1|0|0|0)^T\,,\,(-1|0|1|0|0)^T\,\right)$$Zum einfachen Eigenwert $\lambda_3=2$:$$\left(\,(4|5|0|1|0)^T\,\right)$$Wichtig ist, dass die geometrische Vielfachheit des Eigenraums (Dimension des Eigenraums) mit der algebraischen Vielfachheit des jeweiligen Eigenwertes übereinstimmt, was hier der Fall ist. Die Matrix ist also diagonalisierbar.

Die diagonalisierende Matrix erhältst du, wenn du alle Eigenvektoren als Spalten in eine Matrix schreibst:$$S=\left(\begin{array}{r}1&-1&1&-1&4\\3&0&1&0&5\\0&6&0&1&0\\0&-3&0&0&1\\0&3&0&0&0\end{array}\right)$$

Comments

Ich versuche gerade dein charakteristisches polynom auszurechnen. Leider komme ich immer auf andere Werte :(