Volumen von sich schneidenden Kegeln

Question

Ich benötige die Volumenbestimmung für folgende Situation:

1) Zwei sich schneidende Kegel

Wie ermittelt man das Volumen von zwei Kegeln (Grundfläche = pi * r², Höhe k), bei denen der Mittelpunktabstand kleiner 2r ist, so dass die beiden Kegel sich symmetrisch schneiden?

2) Drei sich schneidende Kegel

Wie ermittelt man das Volumen von drei Kegeln (Grundfläche = pi * r², Höhe k), bei denen alle drei Mittelpunkte einen geringeren Abstand als 2r haben, so dass die drei Kegel sich symmetrisch schneiden?

Ich bin gespannt.

Comments

Mit Mittelpunkt meinst Du den der Grundfläche, und die Grundflächen sollen alle in derselben Ebene liegen?

Zusatzfrage: Integralrechnung kannst Du?

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Richtig, Mittelpunkt der Grundfläche und die Grundflächen liegen in derselben Ebene. Kenntnisse Integralrechnung stammen aus meiner Studienzeit vor 25 Jahren :-(, eher bemittleidenswert.

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Also man wird beim Fall zweier identischer Kegel für das gesuchte Volumen wahrscheinlich zweimal das Kegelvolumen minus einmal das Volumen des Schnittkörpers ausrechnen wollen, wobei letzterer eine linsenförmige Grundfläche hat und eine vertikale Höhe, die vom Mittelpunktabstand, dem Kegelgrundflächenradius und der Kegelhöhe abhängig ist.

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Stimme ich zu, aber ich kriege das handwerklich nicht hin

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Falls einer der hier anwesenden Mathematiker meinen Versuch richtig findet, kann man diesen Kommentar gerne zu den Antworten verschieben.

Habe nun mal den gemeldeten Kommentar entfernt und gleich aus deinem Versuch eine Antwort gemacht. Rückgängig kannst du das ja machen, falls sich die Diskussion anders entwickelt.

Answer 1

Die linsenförmige Grundfläche des Schnittkörpers kann man als zweimal den Fläche des Kreissegments bestimmen, und für jenes gibt es eine Formel in Funktion von Kreisradius und Segmenthöhe. Die Segmenthöhe h ist Radius minus halben Mittelpunktabstand d der Kegelgrundflächen, und die Fläche eines Segments ist dann laut Formelsammlung

$A=r^{2} \cdot \arccos \left(1-\frac{h}{r}\right)-(r-h) \cdot \sqrt{2 r h-h^{2}}$

Die vertikale Höhe z des Schnittkörpers in Abhängigkeit von Mittelpunktabstand d und Kegelhöhe k notiere ich mal mit

$z = k (1 - \frac{d}{2r})$

Für das Volumen des Schnittkörpers zweier identischer Kegel komme ich so auf

oder vereinfacht

$\frac{k(d-2 r)\left(d \sqrt{4 r^{2}-d^{2}}-4 r^{2} \operatorname{arccos}\left(\frac{d}{2 r}\right)\right)}{12 r}$

Falls einer der hier anwesenden Mathematiker meinen Versuch richtig findet, kann man diesen Kommentar gerne zu den Antworten verschieben.

Comments

Hallo,

ich habe ein Frage: Deine Formel sieht mir so aus, als ob Du davon ausgehst, dass der Schnittkörper ein Kegel ist?

Gruß

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Davon gehe ich nicht aus.

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Ok, welche Formel hast Du dann für das Volumen benutzt?

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Das Integral der Grundfläche des Schnittkörpers von 0 bis z