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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

f : x ↦ (x-2)^2 - 4.

1.Zeichnen Sie den Graphen von f.

2. Bestimmen Sie die Steigung der Sekanten durch je zwei benachbarten Punkte:

P1(0/f(0)), P2(1/f(1)), P3(2/f(2)), P4(4/f(4)), P5(5/f(5)).

3.Vergleichen Sie die Sekantensteigungen mit der Steigung der Tangenten in den gegebenen Punkten.


Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht was man da machen soll..?! unser Lehrer hat es nicht für nötig gehalten, uns das zu erklären.

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Vom Duplikat:

Titel: Sekante steigung bestimmen

Stichworte: sekante

Aufgabe:

Gegeben ist die funktion

f:x  Pfeil nach rechts (x-2)² - 4.

1.Zeichnen Sie den Graphen von f.


2. Bestimmen Sie die steigung der sekanten durch je zwei  benachbarten Punkte:

P1(0/f(0)), P2(1/f(1)), P3(2/f(2)), P4(4/f(4)), P5(5/f(5)).


3.Vergleichen Sie die sekantensteigungen mit der steigung der tangenten in den gegebenen Punkten.


Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht was man da machen soll..?! unser Lehrer hat es nicht für nötig gehalten uns das zu erklären..

3 Antworten

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Aloha :)

Da die Fragestellung mittlerweile erweitert wurde, muss ich meine Antwort noch ergänzen:

~plot~ (x-2)^2-4 ; [[-1|6|-4,5|9]] ~plot~

Die Steigung \(m\) zwischen 2 Punkten \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\) ist die Differenz der \(y\)-Werte dividiert durch die Differenz der \(x\)-Werte, das heißt:$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$Diese Steigung sollst du nun 4-mal berechnen, nämlich zwischen den Punkten:$$P_1(0|0)\;;\;P_2(1|-3)\;;\;P_3(2|-4)\;;\;P_4(4|0)\;;\;P_5(5|5)$$Beachte, dass ich bereits die Funktionswerte \(f(x)\) für die jeweiligen \(x\)-Werte berechnet habe.$$m_{12}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{(-3)-(0)}{1-0}=\frac{-3}{1}=-3$$$$m_{23}=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=\frac{(-4)-(-3)}{2-1}=\frac{-1}{1}=-1$$$$m_{34}=\frac{y_4-y_3}{x_4-x_3}=\frac{(0)-(-4)}{4-2}=\frac{4}{2}=2$$$$m_{45}=\frac{y_5-y_4}{x_5-x_4}=\frac{(5)-(0)}{5-4}=\frac{5}{1}=5$$

Die Steigungen der Tangenten an den betreffenden Punkten erhältst du, indem du die \(x\)-Werte der Punkte in die erste Ableitung der Funktion einsetzt:

$$f'(x)=\left(\,(x-2)^2-4\,\right)'=2(x-2)=2x-4$$$$f'(0)=-4$$$$f'(1)=-2$$$$f'(2)=0$$$$f'(4)=4$$$$f'(5)=6$$Wenn du nun die Mittelwerte der Ableitungen nimmst, erhältst du die Sekantensteigungen:$$\frac{f'(0)+f'(1)}{2}=\frac{-4-2}{2}=-3=m_{12}$$$$\frac{f'(1)+f'(2)}{2}=\frac{-2+0}{2}=-1=m_{23}$$$$\frac{f'(2)+f'(4)}{2}=\frac{0+4}{2}=2=m_{34}$$$$\frac{f'(4)+f'(5)}{2}=\frac{4+6}{2}=5=m_{45}$$

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Oha,danke aber wie rechnet man die funktionswerte für die jeweiligen x- Werte?

Es gilt \(y=f(x)=(x-2)^2-4\). Wenn du den \(y\)-Wert zu einem bestimmten \(x\)-Wert suchst, kannst du \(x\) in die Gleichung einsetzen.

Dasselbe machst du, um die Ableitung an der Stelle \(x\) zu berechnen, nur dass du dann in die Ableitung \(f'(x)\) den entsprechenden Wert einsetzt.

Sry nochmal,wie kommt ihr auf die Werte neben m z.B. m12 ...und wie zeichnet man die tangenten und sekanten ein?

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f:x  → (x-2)² - 4 bedeutet f(x) = (x-2)² - 4.

f(1)=(1-2)² - 4= - 3 also P1(1|-3)

auf diese Weise alle Punkte ausrechnen und den Differenzenquorienten für zwei benachbarte Punkte ausrechnen, z.B. für P0(0|0) und P1(1|-3):

\( \frac{-3-0}{1-0} \)=-3.

Die Steigung von P0 nach P1 ist -3.

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Ok,danke aber ich verstehe das noch nicht ganz

Was genau soll ich noch einmal erklären?

Mit dem ..auf diese Weise alle Punkte ausrechnen

So vielleicht?
P1(0/f(0)) f(0)=(0-2)²-4=4-4=0, P1=(0|0)

P2(1/f(1)), bereits vorgeführt,

P3(2/f(2)), (2-2)²-4=0-4=-4, P3=(2|-4)

P4(4/f(4)), (4-2)²-4=4-4=0, P4=(4|0)

P5(5/f(5)), (5-2)²-4=9-4=5, P5=(5|5)

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f (x) = (x-2)^2 - 4.

2. Bestimmen Sie die Steigung der Sekanten durch je zwei benachbarten Punkte:


P1(0/f(0)), P2(1/f(1))

f(0) = ( 0 -2 )^2 - 4 = 0
P1 ( 0 | 0 )

P2(1/f(1))
f ( 1 ) = ( 1-2)^2 - 4 = -3
P2 ( 1 | -3 )

Sekantensteigung
m = Δ y / Δ x = ( y1 - y2 ) / ( x1 - x2 )
m = ( 0 - ( -3) ) / ( 0 -1 ) = -3

Steigung über die erste Ableitung
f ´ ( x ) = 2 * (x-2) * 1
f ´( x ) = 2x - 4

f ´( 0 ) = 2*0 - 4 = -4
f ´( 1 ) = 2*1 - 4 = -2

3.Vergleichen Sie die Sekantensteigungen mit der Steigung der Tangenten in den gegebenen Punkten.

-4 | -3 | -2

Graphik

gm-130.JPG

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